[Mức độ 4] Xét các số dương $x, y$ thỏa mãn $\log_{3} \frac{4 - x + 2 y - x y}{x + 2 y} = 3 x y + 4 (x - y) - 13$ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = x + y$ thuộc tập hợp nào sau đây?

(- 3; 0)

(0; 2)

(2; 5)

(5; 10)

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Điều kiện:

4 - x + 2 y - x y > 0

.
Ta có:

\log_{3} \frac{4 - x + 2 y - x y}{x + 2 y} = 3 x y + 4 (x - y) - 13

\Leftrightarrow \log_{3} (12 - 3 x + 6 y - 3 x y) + (12 - 3 x + 6 y - 3 x y) = \log_{3} (x + 2 y) + (x + 2 y) (*)

Xét hàm số

f (t) = \log_{3} t + t

với

t > 0

. Suy ra

f' (t) = \frac{1}{t . \ln 3} + 1 > 0, \forall t > 0.

Do đó hàm số

f (t) = \log_{3} t + t

đồng biến trên

(0; + \infty)

Ta có

(*) \Leftrightarrow f (12 - 3 x + 6 y - 3 x y) = f (x + 2 y)

\Leftrightarrow 12 - 3 x + 6 y - 3 x y = x + 2 y

\Leftrightarrow 12 - 4 x = (3 x - 4) y \Leftrightarrow y = \frac{12 - 4 x}{3 x - 4}

. Do

x, y > 0

nên

x \in (\frac{4}{3}; 3) .

P = x + y = x + \frac{12 - 4 x}{3 x - 4} = g (x)

;

g' (x) = 1 + \frac{- 20}{{(3 x - 4)}^{2}} = \frac{9 x^{2} - 24 x - 4}{{(3 x - 4)}^{2}}

;

g' (x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{3} .

Vì

x \in (\frac{4}{3}; 3)

nên ta lấy giá trị

x = \frac{4 + 2 \sqrt{5}}{3} .

Lập bảng biến thiên của hàm số

g (x)

ta được kết quả

\min P = g (\frac{4 + 2 \sqrt{5}}{3}) = \frac{4 \sqrt{5}}{3} \approx 2, 98.

Chú ý: Giá thiết đề gốc là cho

x, y > 0

thỏa mãn

\log_{3} \frac{3 - x + 2 y - x y}{x + 2 y} = 3 x y + 4 (x - y) - 10

, khi đó biểu thức

P = x + y

không tồn tại giá trị nhỏ nhất, do đó chúng tôi đã thay đổi lại giả thiết như trên.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi