Người ta gọt một khối lập phương gỗ để lấy khối tám mặt đều nội tiếp nó . Biết các cạnh của khối lập phương bằng a. Hãy tính thể tích của khối tám mặt đều đó.

\frac{a^{3}}{6}

\frac{a^{3}}{12}

\frac{a^{3}}{4}

\frac{a^{3}}{8}

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A
Vì khối tám mặt đều có các đỉnh là tâm của các mặt khối lập phương cạnh

a

nên độ dài cạnh khối tám mặt đều là

x = I N = \frac{D^{'} C}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{2}

Thể tích khối tám mặt đều bằng hai lần thể tích khối chóp tứ giác đều

S A B C D

có cạnh đáy bằng

x

và cạnh bên cũng bằng

x

.
Gọi

O

là tâm của tứ giác

A B C D

. Ta có

S O ⊥ (A B C D)

S O = \sqrt{S A^{2} - A O^{2}} = \sqrt{x^{2} - {(\frac{x \sqrt{2}}{2})}^{2}} = \frac{x}{\sqrt{2}} .

V_{S A B C D} = \frac{1}{3} . S_{A B C D} . S O = \frac{1}{3} . x^{2} . \frac{x}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} x^{3}}{6} .

Vậy thể tích khối tám mặt đều bằng

V = 2. V_{S A B C D} = 2. \frac{\sqrt{2} x^{3}}{6} = \frac{\sqrt{2} x^{3}}{3} = \frac{\sqrt{2} . {(\frac{a \sqrt{2}}{2})}^{3}}{3} = \frac{a^{3}}{6} .

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi