Parabol $(P) : y = \frac{1}{2} x^{2}$ chia hình tròn giới hạn bởi đường tròn $(C) : x^{2} + y^{2} = 8$ thành hai phần như hình vẽ. Gọi $S_{1}$ là diện tích của phần tô đậm và $S_{2}$ là diện tích của phần không tô đậm. Tính $\frac{S_{1}}{S_{2}}$

\frac{3 π + 2}{9 π - 2}

\frac{3 π + 1}{6 π - 1}

\frac{3 π + 1}{5 π - 1}

\frac{5 π + 2}{10 π - 2}

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A

Dễ thấy nửa đường tròn phía trên trục

O x

có phương trình là

y = \sqrt{8 - x^{2}}

.
Giao của đường tròn và Parabol đã cho là nghiệm của phương trình:

\sqrt{8 - x^{2}} = \frac{1}{2} x^{2} \Leftrightarrow x = \pm 2

.
Diện tích

S_{1} = \int_{- 2}^{2} (\sqrt{8 - x^{2}} - \frac{1}{2} x^{2}) d x = \int_{- 2}^{2} \sqrt{8 - x^{2}} d x + \int_{- 2}^{2} (- \frac{1}{2} x^{2}) d x = \int_{- 2}^{2} \sqrt{8 - x^{2}} d x - \frac{8}{3}

.
Đặt

I = \int_{- 2}^{2} \sqrt{8 - x^{2}} d x

x = 2 \sqrt{2} . \sin t

có

d x = 2 \sqrt{2} \cos t d t

.
Đổi cận

I = \int_{- 2}^{2} \sqrt{8 - x^{2}} d x = 4 \int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}} (2 \cos 2 t + 1) d t = 4 + 2 π

.
Vậy

S_{1} = \frac{4}{3} + 2 π

S_{2} = 8 π - S_{1} = 6 π - \frac{4}{3} \Rightarrow \frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{3 π + 2}{9 π - 2}

Vậy đáp án đúng là A.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi