Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba cạnh của tam giác $A B C$ được gọi là tam giác trung bình của tam giác $A B C$ .
Ta xây dựng dãy các tam giác $A_{1} B_{1} C_{1}, A_{2} B_{2} C_{2}, A_{3} B_{3} C_{3}, . . .$ sao cho $A_{1} B_{1} C_{1}$ là một tam giác đều cạnh bằng $3$ và với mỗi số nguyên dương $n \geq 2$ , tam giác $A_{n} B_{n} C_{n}$ là tam giác trung bình của tam giác $A_{n - 1} B_{n - 1} C_{n - 1}$ . Với mỗi số nguyên dương $n$ , kí hiệu $S_{n}$ tương ứng là diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác $A_{n} B_{n} C_{n}$ . Tính tổng $S = S_{1} + S_{2} + . . . + S_{n} + . . .$ ?

S = \frac{15 π}{4} .

S = 4 π .

S = \frac{9 π}{2} .

S = 5 π .

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:Lời giải
Chọn B
Vì dãy các tam giác

A_{1} B_{1} C_{1}, A_{2} B_{2} C_{2}, A_{3} B_{3} C_{3}, . . .

là các tam giác đều nên bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác bằng cạnh

\times \frac{\sqrt{3}}{3}

.
Với

n = 1

thì tam giác đều

A_{1} B_{1} C_{1}

có cạnh bằng

3

nên đường tròn ngoại tiếp tam giác

A_{1} B_{1} C_{1}

có bán kính

R_{1} = 3. \frac{\sqrt{3}}{3}

\Rightarrow S_{1} = π {(3. \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}

.
Với

n = 2

thì tam giác đều

A_{2} B_{2} C_{2}

có cạnh bằng

\frac{3}{2}

nên đường tròn ngoại tiếp tam giác

A_{2} B_{2} C_{2}

có bán kính

R_{2} = 3. \frac{1}{2} . \frac{\sqrt{3}}{3}

\Rightarrow S_{2} = π {(3. \frac{1}{2} . \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}

.
Với

n = 3

thì tam giác đều

A_{3} B_{3} C_{3}

có cạnh bằng

\frac{3}{4}

nên đường tròn ngoại tiếp tam giác

A_{2} B_{2} C_{2}

có bán kính

R_{3} = 3. \frac{1}{4} . \frac{\sqrt{3}}{3}

\Rightarrow S_{3} = π {(3. \frac{1}{4} . \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}

.
. . . . . . . . . .
Như vậy tam giác đều

A_{n} B_{n} C_{n}

có cạnh bằng

3. {(\frac{1}{2})}^{n - 1}

nên đường tròn ngoại tiếp tam giác

A_{n} B_{n} C_{n}

có bán kính

R_{n} = 3. {(\frac{1}{2})}^{n - 1} . \frac{\sqrt{3}}{3}

\Rightarrow S_{n} = π {(3. {(\frac{1}{2})}^{n - 1} . \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}

.
Khi đó ta được dãy

S_{1}

S_{2}

. . . S_{n} . . .

là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu

u_{1} = S_{1} = 3 π

và công bội

q = \frac{1}{4}

.
Do đó tổng

S = S_{1} + S_{2} + . . . + S_{n} + . . .

= \frac{u_{1}}{1 - q} = 4 π

Vậy đáp án đúng là B.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi