Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc 60⁰. Diện tích của thiết diện này bằng

2 a^{2} .

\frac{a^{2} \sqrt{2}}{4} .

\frac{a^{2} \sqrt{2}}{2} .

\frac{a^{2} \sqrt{2}}{3} .

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải
Chọn D

Gọi thiết diện qua trục của một hình nón là tam giác vuông cân

S A B .

Trục là

S O .

S O = \frac{A B}{2} = R = \frac{a \sqrt{2}}{2} .

Thiết diện qua đỉnh là

S C D

,kẻ

O P ⊥ C D (P \in C D)

. Suy ra

\tan \hat{S P O} = \tan 60^{0} = \frac{S O}{O P} = \sqrt{3} \Rightarrow O P = \frac{a \sqrt{6}}{6} .

Tam giác

C O P

vuông tại

P

C P^{2} = C O^{2} - O P^{2} = {(\frac{a \sqrt{2}}{2})}^{2} - {(\frac{a \sqrt{6}}{6})}^{2} \Rightarrow C P = \frac{a \sqrt{3}}{3} \Rightarrow C D = \frac{2 a \sqrt{3}}{3} .

Mặt khác

S P^{2} = S O^{2} + O P^{2} = {(\frac{a \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{a \sqrt{6}}{6})}^{2} = \frac{a^{2}}{2} + \frac{a^{2}}{6} = \frac{4 a^{2}}{6} \Rightarrow S P = \frac{a \sqrt{6}}{3} .

Vậy đáp án đúng là D.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi