Lời giải:Trước hết phương trình phải có hai nghiệm phân biệt x1;x2 khác 0 nên:
\(\left\{ \begin{array}{l} \Delta ' = {m^2} + 4m + 1 > 0\\ \frac{c}{a} = \frac{{{m^2} - 4m + 1}}{3} \ne 0 \end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l} {m^2} + 4m + 1 > 0\\ {m^2} - 4m + 1 \ne 0 \end{array} \right.(*)\)
Khi đó theo định lý Viet ta có:
\( S = {x_1} + {x_2} = \frac{{4\left( {1 - m} \right)}}{3};P = {x_1}{x_2} = \frac{{{m^2} - 4m + 1}}{3}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l} \frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{1}{2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) \Leftrightarrow \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{1}{2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {{x_1}{x_2} - 2} \right) = 0\\ \to \left[ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = 0\\ {x_1}{x_2} - 2 = 0 \end{array} \right. \to \left[ \begin{array}{l} m = 1\\ {m^2} - 4m - 5 = 0 \end{array} \right. \to \left[ \begin{array}{l} m = 1\\ \left[ \begin{array}{l} m = - 1\\ m = 5 \end{array} \right. \end{array} \right. \end{array}\)
Thay vào (*) ta thấy m=−1 không thỏa mãn.
Vậy m=1;m=5 là giá trị cần tìm.
