Tìm tất cả các giá trị của tham số $a$ để hàm số $y = 2 x^{3} + 9 a x^{2} + 12 a^{2} x + 1$ có cực đại, cực tiểu và hoành độ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số bằng $1$ .

a = - \frac{1}{2}

a = 1

a = \frac{1}{2}

a = - 1

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
TXĐ:

D = ℝ

y^{'} = 6 x^{2} + 18 a x + 12 a^{2}

(1)

Để hàm số có cực đại, cực tiểu thì

Δ^{'} > 0

\Leftrightarrow 81 a^{2} - 72 a^{2} = 9 a^{2} > 0

luôn đúng

\forall a \in ℝ

.
Do đó

x_{C T}

là nghiệm của phương trình

(1)

. Từ giả thiết

x_{C T} = 1

thay vào phương trình

(1)

ta có:

12 a^{2} + 18 a + 6 = 0

\Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = - \frac{1}{2} \\ a = - 1 \end{array}

+ Với

a = - 1

y = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x + 1

y^{'} = 6 x^{2} - 18 x + 12

y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = 2 \end{array}

Bảng biến thiên

Dựa vào BBT ta thấy hàm số không đạt cực tiểu tại

x = 1

. Do đó

a = 1

không thỏa mãn.
+ Với

a = - \frac{1}{2}

y = 2 x^{3} - \frac{9}{2} x^{2} + 3 x + 1

y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{1}{2} \\ x = 1 \end{array}

Bảng biến thiên

Dựa vào BBT ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại

x = 1

. Do đó

a = - \frac{1}{2}

thỏa mãn.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi