Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = x^{4} + 4 m x^{3} + 3 (m + 1) x^{2} + 1$ có cực tiểu mà không có cực đại .

m \in (- \infty; \frac{1 - \sqrt{7}}{3}] .

m \in [\frac{1 - \sqrt{7}}{3}; 1] \cup \{- 1\} .

m \in [\frac{1 + \sqrt{7}}{3}; + \infty) .

m \in [\frac{1 - \sqrt{7}}{3}; \frac{1 + \sqrt{7}}{3}] \cup \{- 1\} .

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải
Chọn D
Ta có:

y^{'} = 4 x^{3} + 12 m x^{2} + 6 (m + 1) x

.
+ TH1 :

m = - 1

, ta có:

y^{'} = 4 x^{3} - 12 x^{2} = 4 x^{2} (x - 3)

.
Bảng xét dấu

Hàm số có 1 cực tiểu duy nhất.
Ta có:

y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ 2 x^{2} + 6 m x + 3 m + 3 = 0 (*) \end{array}

+ TH2 :

m \neq - 1

Để hàm số đã cho chỉ có một cực tiểu thì phương trình

(*)

không có hai nghiệm phân biệt

\Leftrightarrow {(3 m)}^{2} - 2 (3 m + 3) \leq 0 \Leftrightarrow \frac{1 - \sqrt{7}}{2} \leq m \leq \frac{1 + \sqrt{7}}{2}

.
Vậy

m \in [\frac{1 - \sqrt{7}}{3}; \frac{1 + \sqrt{7}}{3}] \cup \{- 1\} .

Vậy đáp án đúng là D.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi