Tìm tất cả các giá trị $m$ sao cho đồ thị hàm số $y = x^{4} + (m + 1) x^{2} - 2 m - 1$ có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác có một góc bằng $120 °$ .

m = - 1 - \frac{2}{\sqrt[3]{3}}

m = - 1 - \frac{2}{\sqrt[3]{3}}

m = - 1

m = - \frac{1}{\sqrt[3]{3}}

m < - 1

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Ta có

y^{'} = 4 x^{3} + 2 (m + 1) x = 2 x (2 x^{2} + m + 1)

y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ 2 x^{2} = - m - 1 \end{array}

Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi

y^{'} = 0

có ba nghiệm phân biệt

\Leftrightarrow

m + 1 < 0 \Leftrightarrow m < - 1

.
Khi đó

A (0; - 2 m - 1)

B (- \sqrt{\frac{- m - 1}{2}}; - \frac{{(m + 1)}^{2}}{4} - 2 m - 1)

C (\sqrt{\frac{- m - 1}{2}}; - \frac{{(m + 1)}^{2}}{4} - 2 m - 1)

, là các điểm cực trị của đồ thị.
Ta thấy

A B = A C = \sqrt{- \frac{m + 1}{2} + \frac{{(m + 1)}^{4}}{16}}

nên tam giác

A B C

cân tại

A

.
Từ giả thiết suy ra

A = 120 °

.
Gọi

H

là trung điểm

B C

, ta có

H (0; - \frac{{(m + 1)}^{2}}{4} - 2 m - 1)

B H = A H \tan 60 ° \Leftrightarrow \frac{{(m + 1)}^{2}}{4} . \sqrt{3} = \sqrt{- \frac{m + 1}{2}}

\Leftrightarrow \frac{3 {(m + 1)}^{4}}{16} = - \frac{m + 1}{2} \Leftrightarrow 3 {(m + 1)}^{3} = - 8 \Leftrightarrow m = - 1 - \frac{2}{\sqrt[3]{3}}

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi