Lời giải:Để đoạn \(\left[ -\frac{2\pi }{3};\frac{\pi }{3} \right]\) là tập hợp con của tập nghiệm bất phương trình \({{\log }_{\frac{1}{5}}}\left( {{\cos }^{2}}x+1 \right)<{{\log }_{\frac{1}{5}}}\left( {{\cos }^{2}}x+4\cos x+m \right)+1\) thì:
\({{\log }_{\frac{1}{5}}}\left( {{\cos }^{2}}x+1 \right)<{{\log }_{\frac{1}{5}}}\left( {{\cos }^{2}}x+4\cos x+m \right)+1,\forall x\in \left[ -\frac{2\pi }{3};\frac{\pi }{3} \right]\)
\(\Leftrightarrow {{\log }_{\frac{1}{5}}}\left( {{\cos }^{2}}x+1 \right)<{{\log }_{\frac{1}{5}}}\left( \frac{{{\cos }^{2}}x+4\cos x+m}{5} \right),\forall x\in \left[ -\frac{2\pi }{3};\frac{\pi }{3} \right]\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\cos ^2}x + 4\cos x + m > 0\\
5{\cos ^2}x + 5 > {\cos ^2}x + 4\cos x + m
\end{array} \right.,\forall x \in \left[ { - \frac{{2\pi }}{3};\frac{\pi }{3}} \right]\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > - {\cos ^2}x - 4\cos x\\
m < 4{\cos ^2}x - 4\cos x + 5
\end{array} \right.,\forall x \in \left[ { - \frac{{2\pi }}{3};\frac{\pi }{3}} \right]\)
Đặt \(t=\cos x.\) Khi đó ta có (1) trở thành: \(\left\{ \begin{array}{l}
m > - {t^2} - 4t\\
m < 4{t^2} - 4t + 5
\end{array} \right.,\forall t \in \left[ { - \frac{1}{2};1} \right].\)
+ Để \(m>-{{t}^{2}}-4t,\forall t\in \left[ -\frac{1}{2};1 \right]\Leftrightarrow m>\underset{\left[ -\frac{1}{2};1 \right]}{\mathop{\max }}\,\left( -{{t}^{2}}-4t \right)\text{ }\left( 2 \right)\)
Xét hàm số \(f\left( -\frac{1}{2} \right)=\frac{7}{4};f\left( -1 \right)=-5.\) Do đó \(\underset{\left[ -\frac{1}{2};1 \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( t \right)=\frac{7}{4}.\) Nên \(\left( 2 \right)\Leftrightarrow m>\frac{7}{4}.\)
+ Để \(m<4{{t}^{2}}-4t+5,\forall t\in \left[ -\frac{1}{2};1 \right]\Leftrightarrow m<\underset{\left[ -\frac{1}{2};1 \right]}{\mathop{\min }}\,\left( 4{{t}^{2}}-4t+5 \right)\text{ }\left( 3 \right)\)
Xét hàm số \(f\left( t \right)=4{{t}^{2}}-4t+5,\forall t\in \left[ -\frac{1}{2};1 \right].\) Ta có \(g'\left( t \right)=8t-4=0\Leftrightarrow t=\frac{1}{2}.\)
\(g\left( -\frac{1}{2} \right)=8,g\left( 1 \right)=5,g\left( \frac{1}{2} \right)=4.\) Do đó \(\underset{\left[ -\frac{1}{2};1 \right]}{\mathop{\min }}\,g\left( t \right)=4.\) Nên \(\left( 3 \right)\Leftrightarrow m<4.\)
Vậy \(m\in \left( \frac{7}{4};4 \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
