Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} - (2 m - 1) x^{2} + (m^{2} - m + 7) x + m - 5$ có hai điểm cực trị là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng $\sqrt{74}$ .

m = 3

[\begin{array}{l} m = - 3 \\ m = 2 \end{array}

m = 2

[\begin{array}{l} m = 3 \\ m = - 2 \end{array}

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A

y = \frac{1}{3} x^{3} - (2 m - 1) x^{2} + (m^{2} - m + 7) x + m - 5

\Rightarrow y^{'} = x^{2} - 2 (2 m - 1) x + m^{2} - m + 7

.
+) Hàm số có hai điểm cực trị là độ dài hai cạnh của một tam giác vuông thì

y^{'}

có 2 nghiệm dương phân biệt

\Leftrightarrow

\{\begin{cases} Δ^{'} = {(2 m - 1)}^{2} - (m^{2} - m - 7) > 0 \\ 2 m - 1 > 0 \\ m^{2} - m + 7 > 0 \end{cases}

.
+) Khi đó, gọi

x_{1}

x_{2}

là 2 điểm cực trị của hàm số thì

x_{1}

x_{2}

là hai nghiệm của

y^{'}

\Rightarrow \{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 2 (2 m - 1) \\ x_{1} . x_{2} = m^{2} - m + 7 \end{cases}

.
Theo giả thiết ta có

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 74

\Leftrightarrow {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} = 74

\Leftrightarrow 4 {(2 m - 1)}^{2} - 2. (m^{2} - m + 7) = 74

\Leftrightarrow 14 m^{2} - 14 m - 84 = 0

\Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 3 \\ m = - 2 \end{array}

.
Thử vào

(*) \Rightarrow m = 3

Vậy đáp án đúng là A.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi