Tính giới hạn $A = \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{3 x + 5} - \sqrt{x + 3}}{x - 1}$ .

Name: Ôn Thi trắc nghiệm THCS, THPT
Rating: 4,1 (196528 reviews)

- \frac{1}{4}

- \frac{1}{6}

0

\frac{1}{4}

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C
Ta có

A = \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{3 x + 5} - \sqrt{x + 3}}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{3 x + 5} - 2 + (2 - \sqrt{x + 3})}{x - 1}

Khi đó

A = \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{3 x + 5} - 2}{x - 1} + \lim_{x \to 1} \frac{2 - \sqrt{x + 3}}{x - 1} = A_{1} + A_{2}

.
Có

A_{1} = \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{3 x + 5} - 2}{x - 1}

. Đặt

t = \sqrt[3]{3 x + 5} \Rightarrow x = \frac{t^{3} - 5}{3}

; khi

x \to 1 \Rightarrow t \to 2

.
Nên

A_{1} = \lim_{t \to 2} \frac{t - 2}{\frac{t^{3} - 5}{3} - 1} = \lim_{t \to 2} \frac{3 (t - 2)}{t^{3} - 8} = \lim_{t \to 2} \frac{3}{t^{2} + 2 t + 4} = \frac{1}{4}

.
Có

A_{2} = \lim_{x \to 1} \frac{2 - \sqrt{x + 3}}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{4 - (x + 3)}{(x - 1) (2 + \sqrt{x + 3})} \underset{x \to 1}{= \lim} \frac{- 1}{(2 + \sqrt{x + 3})} = - \frac{1}{4}

.
Vậy

A = A_{1} + A_{2} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi