) Trong các khối chóp tứ giác đều $S . A B C D$ mà khoảng cách từ $A$ đến $m p (S B C)$ bằng $2 a$ , khối chóp có thể tích nhỏ nhất bằng

2 \sqrt{3} a^{3}

2 a^{3}

3 \sqrt{3} a^{3}

4 \sqrt{3} a^{3}

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A

Gọi

O

là tâm của mặt đáy,

M

là trung điểm cạnh

B C

.
Dễ thấy do

S . A B C D

là khối chóp tứ giác đều nên

A B C D

là hình vuông và

S O ⊥ A B C D

.
Gọi

H

là chân đường vuông góc hạ từ

O

xuống trong mp

(S M O)

\Rightarrow O H ⊥ S M

.
Hơn nữa,

O M ⊥ B C

và

S M ⊥ B C

\Rightarrow B C ⊥ (S O M)

\Rightarrow O H ⊥ B C

.
Từ và

\Rightarrow O H ⊥ (S B C)

\Rightarrow d (O; (S B C)) = O H

.
Do

O

là trung điểm cạnh

A C

nên

d (A; (S B C)) = 2 d (O; (S B C)) = 2 O H

.
Theo giả thiết

d (A; (S B C)) = 2 a

\Rightarrow O H = a

.
Giả sử chiều dài cạnh đáy là

2 x

(

x > a

O M > O H

) và

S O = h

(

h > 0

).
Trong tam giác vuông

S O M

O H^{2} = \frac{h^{2} x^{2}}{h^{2} + x^{2}}

\Rightarrow a^{2} = \frac{h^{2} x^{2}}{h^{2} + x^{2}}

\Rightarrow h^{2} (x^{2} - a^{2}) = a^{2} x^{2}

\Rightarrow h^{2} = \frac{a^{2} x^{2}}{x^{2} - a^{2}}

Thể tích khối chóp

S . A B C D

là

V = \frac{1}{3} h . (4 x^{2})

\Leftrightarrow V^{2} = \frac{16}{9} h^{2} x^{4}

\Leftrightarrow V^{2} = \frac{16}{9} \frac{a^{2} x^{2}}{x^{2} - a^{2}} x^{4}

\Leftrightarrow V^{2} = \frac{16 a^{2}}{9} \frac{x^{6}}{x^{2} - a^{2}}

Xét hàm số

f (x) = \frac{16 a^{2}}{9} \frac{x^{6}}{x^{2} - a^{2}}

trên khoảng

(a; + \infty)

, ta có:

f^{'} (x) = \frac{16 a^{2}}{9} \frac{4 x^{7} - 6 x^{5} a^{2}}{{(x^{2} - a^{2})}^{2}}

= \frac{16 a^{2}}{9} . \frac{2 x^{5} (2 x^{2} - 3 a^{2})}{{(x^{2} - a^{2})}^{2}}

;

f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}} a \end{array}

Ta có BBT:

Hàm số

f (x)

đạt giá trị nhỏ nhất là

12 a^{6}

nên khối chóp có thể tích nhỏ nhất bằng

2 \sqrt{3} a^{3}

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi