Trong không gian cho mặt phẳng $(P) : x - z + 6 = 0$ và hai mặt cầu $(S_{1}^{}) : x^{2} + y^{2} + z^{2} = 25$ , $(S_{2}^{}) :$ $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4 x - 4 z + 7 = 0$ . Biết rằng tập hợp tâm các mặt cầu tiếp xúc với cả hai mặt cầu $(S_{1}^{})$ , $(S_{2}^{})$ và tâm $I$ nằm trên $(P)$ là một đường cong. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong đó.

\frac{7}{3} π

\frac{7}{9} π

\frac{9}{7} π

\frac{7}{6} π

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:Lời giải
Chọn B
Mặt cầu

(S_{1}^{})

có tâm

O (0; 0; 0)

và bán kính

R_{1}^{} = 5

. Mặt cầu

(S)

có tâm

E (- 2; 0; 2)

bán kính . Ta có

d (O, (P)) = \frac{6}{\sqrt{2}} < R_{1}^{}

và

d (E, (P)) = \sqrt{2} > R_{2}^{}

O E = 2 \sqrt{2}

O E + R_{2}^{} < R_{1}^{}

nên mặt cầu

(S_{2}^{})

nằm trong mặt cầu

(S_{1}^{})

. Như vậy mặt cầu

(S)

tâm

I

tiếp xúc với cả

(S_{1}^{})

và

(S_{2}^{})

thì

(S)

tiếp xúc trong mặt cầu

(S_{1}^{})

và tiếp xúc ngoài với

(S_{2}^{})

. Gọi

R

là bán kính của

(S)

khi đó ta có hệ

\{\begin{cases} O I + R = R_{1}^{} \\ E I - R = R_{2}^{} \end{cases} \Rightarrow O I + E I = R_{1}^{} + R_{2}^{} \Rightarrow O I + E I = 6

Nhận xét:

\vec{O E} = (- 2; 0; 2)

nên

O E

vuông góc với

(P) : x - z + 6 = 0

.
Gọi

H

là hình chiếu vuông góc của lên

(P)

, đặt

I H = x

, điều kiện

x > 0

. Khi đó ta có

O I + E I = 6

\Leftrightarrow \sqrt{O H^{2} + H I^{2}} + \sqrt{E H^{2} + H I^{2}} = 6

\Leftrightarrow \sqrt{18 + x^{2}} + \sqrt{2 + x^{2}} = 6 \Leftrightarrow x^{2} = \frac{7}{9} \Leftrightarrow x = \frac{\sqrt{7}}{3}

.
Vậy điểm

I

thuộc đường tròn tâm

H

bán kính

r = \frac{\sqrt{7}}{3}

. Nên diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường tròn là:

S = π r^{2} = \frac{7 π}{9}

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi