Trong không gian cho tam giác $A B C$ có $A B = 2 R, A C = R, \hat{C A B} = 120^{0}$ . Gọi $M$ là điểm thay đổi thuộc mặt cầu tâm $B$ , bán kính $R$ . Giá trị nhỏ nhất của $M A + 2 M C$ là

4 R

6 R

R \sqrt{19}

2 R \sqrt{7}

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C

Ta có

M A^{2} = {(\vec{M B} + \vec{B A})}^{2} = ({\vec{M B}}^{2} + 2 \vec{M B} . \vec{B A} + {\vec{B A}}^{2}) = {(\frac{B A}{M B} \vec{M B} + \frac{M B}{B A} \vec{B A})}^{2} = {(2 \vec{M B} + \frac{1}{2} \vec{B A})}^{2}

\Rightarrow M A^{2} = {|2 \vec{M B} + \frac{1}{2} \vec{B A}|}^{2}

\Rightarrow M A = 2 |\vec{M B} + \frac{\vec{B A}}{4}|

.
Gọi

D

là điểm thỏa mãn

\vec{B D} = \frac{\vec{B A}}{4}

, khi đó

M A = 2 |\vec{M B} + \vec{B D}| = 2 |\vec{M D}| = 2 M D

.
Do đó

M A + 2 M C = 2 (M C + M D) \geq 2 C D

.
Lại có

C D^{2} = A C^{2} + A D^{2} - 2 A C . A D \cos 120 ° = \frac{19}{4} R^{2} \Rightarrow C D = R \frac{\sqrt{19}}{2}

.
Dấu bằng xảy ra khi

M

là giao điểm của đoạn

C D

với mặt cầu tâm

B

bán kính

R

.
Vậy giá trị nhỏ nhất của

M A + 2 M C

là

R \sqrt{19} .

Vậy đáp án đúng là C.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi