Trong không gian $O x y z$ , cho các điểm $M (2; 1; 4)$ , $N (5; 0; 0)$ , $P (1; - 3; 1)$ . Gọi $I (a; b; c)$ là tâm của mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng $(O y z)$ đồng thời đi qua các điểm $M$ , $N$ , $P$ . Tìm $c$ biết rằng $a + b + c < 5$ .

3

2

4

1

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:Lời giải
Chọn B
Giả sử mặt cầu

(S)

đã cho có phương trình dạng:

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 c z + d = 0

.
Từ đề bài ta có:

M (2; 1; 4) \in (S) \Leftrightarrow - 4 a - 2 b - 8 c + d = - 21 (1)

N (5; 0; 0) \in (S) \Leftrightarrow - 10 a + d = - 25 (2)

P (1; - 3; 1) \in (S) \Leftrightarrow - 2 a + 6 b - 2 c + d = - 11 (3)

.
Hình chiếu của điểm

I (a; b; c)

lên mặt phẳng

(O y z)

là

H (0; b; c) \Rightarrow \vec{H I} = (a; 0; 0) \Rightarrow H I = |a|

.
Mặt cầu

(S)

tiếp xúc với mặt phẳng

(O y z) \Rightarrow I H = |a| = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} \Leftrightarrow b^{2} + c^{2} - d = 0 (4)

.
Từ ; ; ta có:

\{\begin{cases} b = 2 - a \\ c = a - 1 \\ d = 10 a - 25 \end{cases}

.
Thế vào phương trình ta được:

a^{2} - 8 a + 15 = 0 \Leftrightarrow a = 5 \lor a = 3

.
Trường hợp 1:

a = 5 \Rightarrow b = - 3, c = 4 \Rightarrow a + b + c = 6 > 5 \Rightarrow

loại.
Trường hợp 1:

a = 3 \Rightarrow b = - 1, c = 2 \Rightarrow a + b + c = 4 < 5 \Rightarrow

nhận.
Vậy

c = 2

thỏa yêu cầu đề.

Vậy đáp án đúng là B.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi