Trong không gian $O x y z$ ,cho điểm $A (2; 5; 3)$ và đường thẳng $d : \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z - 2}{2}$ . Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa $d$ sao cho khoảng cách từ $A$ đến $(P)$ là lớn nhất. Khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến $(P)$ bằng

\sqrt{2}

\frac{3}{\sqrt{6}}

\frac{11 \sqrt{2}}{6}

\frac{1}{\sqrt{2}}

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải
Chọn D
Gọi

\vec{n} = (a; b; c)

là một vectơ pháp tuyến của

(P)

,với

a^{2} + b^{2} + c^{2} \neq 0

.
Điểm

M (1; 0; 2) \in d \Rightarrow M \in (P)

.
Phương trình của

(P) : a x + b y + c z - (a + 2 c) = 0

.
Một vectơ chỉ phương của

d

là

\vec{u} = (2; 1; 2) \Rightarrow \vec{n} ⊥ \vec{u} \Leftrightarrow \vec{n} . \vec{u} = 0 \Leftrightarrow 2 a + b + 2 c = 0

\Rightarrow b = - (2 a + 2 c) \Rightarrow d (A, (P)) = \frac{| a + 5 b + c |}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} = \frac{9 | a + c |}{\sqrt{a^{2} + c^{2} + 4 {(a + c)}^{2}}}

.
Ta có

{(a + c)}^{2} \leq 2 (a^{2} + c^{2}) \Leftrightarrow \frac{{(a + c)}^{2}}{2} \leq a^{2} + c^{2}

với

\forall a, c \in ℝ .

.
Suy ra:

a^{2} + c^{2} + 4 {(a + c)}^{2} \geq \frac{{(a + c)}^{2}}{2} + 4 {(a + c)}^{2} = \frac{9}{2} {(a + c)}^{2} .

.
Do đó

d (A, (P)) = \frac{9 | a + c |}{\sqrt{a^{2} + c^{2} + 4 {(a + c)}^{2}}} \leq \frac{9 | a + c |}{\sqrt{\frac{9}{2} {(a + c)}^{2}}} = \frac{9 | a + c | \sqrt{2}}{3 | a + c |} = 3 \sqrt{2} .

\Rightarrow M a x d (A, (P)) = 3 \sqrt{2} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = c \\ b = - 4 a \end{cases}

. Chọn

a = c = 1 \Rightarrow b = - 4.

.
Phương trình

(P) : x - 4 y + z - 3 = 0 \Rightarrow d (O, (P)) = \frac{1}{\sqrt{2}} .

Vậy đáp án đúng là D.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi