Trong không gian $O x y z,$ cho hai mặt cầu $(S)$ : $x^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = 25$ và $(S^{'})$ : ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 1.$ Mặt phẳng $(P)$ tiếp xúc $(S^{'})$ và cắt $(S)$ theo giao tuyến là một đường tròn có chu vi bằng $6 π .$ Khoảng cách từ $O$ đến $(P)$ bằng

\frac{14}{3}

\frac{17}{7}

\frac{8}{9}

\frac{19}{2}

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A

Mặt cầu

(S)

có tâm

I (0; 0; 1)

, bán kính

R = 5

, mặt cầu

(S^{'})

có tâm

I^{'} (1; 2; 3)

, bán kính

R^{'} = 1

Vì

I^{'} I = 3 < R - R^{'} = 4

nên mặt cầu

(S^{'})

nằm trong mặt cầu

(S)

.
Mặt phẳng

(P)

tiếp xúc

(S^{'})

\Rightarrow d (I^{'}, (P)) = R^{'} = 1

;

(P)

cắt

(S)

theo giao tuyến là một đường tròn có chu vi bằng

6 π

nên

d (I, (P)) = \sqrt{R^{2} - r^{2}} = 4

.
Nhận thấy

d (I, (P)) - d (I^{'}, (P)) = I^{'} I

nên tiếp điểm

H

của

(P)

và

(S^{'})

cũng là tâm đường tròn giao của

(P)

và

(S)

. Khi đó,

(P)

là mặt phẳng đi qua

H

, nhận

\vec{I I^{'}} = (1; 2; 2)

làm vecto pháp tuyến.
Ta có:

\vec{I H} = \frac{4}{3} \vec{I I^{'}} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{H} = \frac{4}{3} \\ y_{H} = \frac{8}{3} \\ z_{H} = \frac{11}{3} \end{cases} \Rightarrow H (\frac{4}{3}; \frac{8}{3}; \frac{11}{3})

.
Phương trình mặt phẳng

(P)

x - \frac{4}{3} + 2 (y - \frac{8}{3}) + 2 (z - \frac{11}{3}) = 0

\Leftrightarrow x + 2 y + 2 z - 14 = 0

.
Khoảng cách từ

O

đến

(P)

là

d (O, (P)) = \frac{14}{3}

.
------------- HẾT -------------

Vậy đáp án đúng là A.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi