Trong không gian $O x y z$ , cho hình lập phương $A B C D . A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ biết $A (0; 0; 0)$ , $B (1; 0; 0)$ , $D (0; 1; 0)$ , $A_{1} (0; 0; 1)$ . Gọi $(P) : a x + b y + c z - 3 = 0$ là phương trình mặt phẳng chứa $C D_{1}$ và tạo với mặt phẳng $(B B_{1} D_{1} D)$ một góc có số đo nhỏ nhất. Giá trị của $T = a + b + c$ bằng

- 1

6

4

3

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C

Dễ dàng xác định được tọa độ một số đỉnh của hình lập phương như sau:

C (1; 1; 0)

D_{1} (0; 1; 1)

.
Mặt phẳng

(P)

chứa

C

D_{1}

nên ta có:

\{\begin{cases} a + b - 3 = 0 \\ b + c - 3 = 0 \end{cases}

.
Mặt phẳng

(P)

có một vectơ pháp tuyến là

\vec{n} = (a; b; c)

.
Mặt phẳng

(B B_{1} D_{1} D)

có một vectơ pháp tuyến là

\vec{A C} = (1; 1; 0)

.
Gọi

α

là góc giữa mặt phẳng

(P)

và

(B B_{1} D_{1} D)

. Vì

0 ° \leq α \leq 90 °

nên

α

nhỏ nhất khi

\cos α

lớn nhất.
Ta có:

\cos α = |\cos (\vec{n}, \vec{A C})| = \frac{|\vec{n} . \vec{A C}|}{|\vec{n}| . |\vec{A C}|}

= \frac{|a + b|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} . \sqrt{2}}

= \frac{3}{\sqrt{2} . \sqrt{{(3 - b)}^{2} + b^{2} + {(3 - b)}^{2}}}

= \frac{3}{\sqrt{2} . \sqrt{3 {(b - 2)}^{2} + 6}}

\leq \frac{3}{\sqrt{2} . \sqrt{6}}

= \frac{\sqrt{3}}{2}

.
Đẳng thức xảy ra khi

b = 2

.
Suy ra

α

nhỏ nhất bằng

30 °

khi

b = 2

;

a = 1

;

c = 1

.
Vậy

T = a + b + c = 4

Vậy đáp án đúng là C.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi