Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 4 điểm \(A(3; - 2; - 2),B(3;2;0),C(0;2;1)\) và D(-1;1;2). Mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCD) có phương trình là:
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {BC} = ( - 3;0;1)\\ \overrightarrow {BC} = ( - 4; - 1;2) \end{array} \right.\) \( \Rightarrow \overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right] = (1;2;3)\)
Mặt phẳng (BCD) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = (1;2;3)\) và đi qua điểm C(0;2;1)
Phương trình mặt phẳng (P) là:
x + 2(y - 2) + 3(z - 1) = 0
⇔ x + 2y + 3z - 7 = 0
\(d(A;(BCD)) = \sqrt {14} .\)
Mặt cầu (S) có tâm I(3;-2;-2) và bán kính R (R > 0)
Do (S) tiếp xúc với (BCD) \( \Rightarrow R = d(A;(BCD)) = \sqrt {14} .\)
Vậy phương trình mặt cầu (S) là:
\({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 14\).