Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A (3; - 2; 6), B (0; 1; 0)$ và mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 25$ . Mặt phẳng $(P) : a x + b y + c z - 2 = 0$ đi qua A, B và cắt theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính $T = a + b + c$ .

T = 3

T = 5

T = 2

T = 4

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A

Mặt cầu

(S)

có tâm

I (1; 2; 3),

bán kính

R = 5.

Mặt phẳng

(P)

có vec-tơ pháp tuyến

{\vec{n}}_{P} = (a; b; c)

Theo giả thiết

B (0; 1; 0) \in (P) : b - 2 = 0 \Leftrightarrow b = 2.

Ta có:

\vec{A B} = (- 3; 3; - 6)

cùng phương với

\vec{u} = (1; - 1; 2)

.
Phương trình đường thẳng

A B : \{\begin{cases} x = t \\ y = 1 - t \\ z = 2 t \end{cases}

Gọi

r

là bán kính đường tròn giao tuyến.

K

là hình chiếu vuông góc của

I

lên đường thẳng

A B,

H

là hình chiếu vuông góc của

I

lên

(P)

Ta có:

K \in A B \Rightarrow K (t; 1 - t; 2 t) \Rightarrow \vec{I K} = (t - 1; - t - 1; 2 t - 3)

I K ⊥ A B \Rightarrow \vec{A B} . \vec{I K} = 0 \Rightarrow t = 1 \Rightarrow \vec{I K} = (0; - 2; - 1)

r = \sqrt{R^{2} - d^{2} (I, (P))} = \sqrt{25 - d^{2} (I, (P))} = \sqrt{25 - I H^{2}}

.
Ta có:

r_{\min} \Leftrightarrow I H_{\max}

.
Mà

I H \leq I K \Rightarrow I H_{\max} = I K \Leftrightarrow H \equiv K \Rightarrow (P) ⊥ I K

\Rightarrow {\vec{n}}_{P}

và

\vec{I K}

cùng phương.

\Rightarrow {\vec{n}}_{P} = k . \vec{I K} \Rightarrow \{\begin{cases} a = 0 \\ b = - 2 k \\ c = - k \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} a = 0 \\ k = - 1 \\ c = 1 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} a = 0 \\ c = 1 \end{cases}

\Rightarrow t = a + b + c = 0 + 2 + 1 = 3.

Vậy đáp án đúng là A.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi