Lời giải:Tâm I mặt cầu \(\left( S \right)\) đi qua hai điểm A, B nằm trên mặt phẳng trung trực của AB. Phương trình mặt phẳng trung trực của AB là \(\left( P \right):x+2y+3z-14=0\).
OI nhỏ nhất khi và chỉ khi I là hình chiếu vuông góc của O trên mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Đường thẳng d qua O và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình \(\left\{ \begin{align}
& x=t \\
& y=2t \\
& z=3t \\
\end{align} \right.\)
Tọa độ điểm I khi đó ứng với t là nghiệm phương trình
\(t+2.2t+3.3t-14=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow I\left( 1;2;3 \right)\).
Bán kính mặt cầu \(\left( S \right)\) là R=IA=4.
Từ \(T=2a-b+2c\Rightarrow 2a-b+2c-T=0\), suy ra M thuộc mặt phẳng \(\left( Q \right):2x-y+2z-T=0\).
Vì M thuộc mặt cầu nên:
\(d\left( I;\left( Q \right) \right)\le R\Leftrightarrow \frac{\left| 2.1-2+2.3-T \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}}\le 4\Leftrightarrow \left| 6-T \right|\le 12\Leftrightarrow -6\le T\le 18\).
