Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu $(S)$ có phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 (a + 4 b) x + 2 (a - b + c) y + 2 (b - c) z + d = 0$ , tâm $I$ nằm trên mặt phẳng $(α)$ cố định. Biết rằng $4 a + b - 2 c = 4$ . Tìm khoảng cách từ điểm $D (1; 2; - 2)$ đến mặt phẳng $(α)$ .

\frac{15}{\sqrt{23}}

\frac{1}{\sqrt{915}}

\frac{9}{\sqrt{15}}

\frac{1}{\sqrt{314}}

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:Lời giải
Chọn B
Mặt cầu

(S)

có tâm

I (a + 4 b; - a + b - c; - b + c)

.
Giả sử mặt phẳng

(α)

có phương trình

A x + B y + C z + D = 0

.
Vì

I \in (α)

nên ta có

A (a + 4 b) + B (- a + b - c) + C (- b + c) + D = 0

\Leftrightarrow (A - B) a + (4 A + B - C) b + (- B + C) c = - D

.
Theo bài ra ta có

4 a + b - 2 c = 4

.
Đồng nhất và ta có hệ phương trình

\{\begin{cases} A - B = 4 \\ 4 A + B - C = 1 \\ - B + C = - 2 \\ D = - 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} A = - \frac{1}{4} \\ B = - \frac{17}{4} \\ C = - \frac{25}{4} \\ D = - 4 \end{cases}

Suy ra

(α)

có phương trình

x + 17 y + 25 z + 16 = 0

.
Vậy, khảng cách từ điểm

D (1; 2; - 2)

đến

(α)

bằng

d (D, (α)) = \frac{|1 + 17. 2 + 25. (- 2) + 16|}{\sqrt{1^{2} + 17^{2} + 25^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{915}}

Vậy đáp án đúng là B.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi