Lời giải:Ta có \(\overrightarrow{AB}=\left( 2;1;3 \right)\) nên phương trình đường thẳng \(AB\) là \(\left\{ \begin{align}
& x=3+2t \\
& y=2+t \\
& z=4+3t \\
\end{align} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right)
\).png)
Gọi \(M=AB\cap \left( P \right)\) thì tọa độ điểm \(M\) thỏa mãn hệ phương trình
\(\left\{ \begin{align}
& {{x}_{M}}=3+2t \\
& {{y}_{M}}=2+t \\
& {{z}_{M}}=4+3t \\
& {{x}_{M}}+{{y}_{M}}+{{z}_{M}}-3=0 \\
\end{align} \right.\)
\(\Rightarrow \left( 3+2t \right)+\left( 2+t \right)+\left( 4+3t \right)-3=0\Leftrightarrow 6t+6=0\Leftrightarrow t=-1\to M\left( 1;1;1 \right)\)
Có \(MA=\sqrt{{{\left( 3-1 \right)}^{2}}+{{\left( 2-1 \right)}^{2}}+{{\left( 4-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{14}\)
Và \(MB=\sqrt{{{\left( 5-1 \right)}^{2}}+{{\left( 3-1 \right)}^{2}}+{{\left( 7-1 \right)}^{2}}}=2\sqrt{14}\)
Gọi \({{I}_{1}}\) là tâm của đường tròn \(\left( C \right)\) và \(M{{I}_{1}}\) cắt đường tròn \(\left( C \right)\) tại 2 điểm \(C\) và \(D\).
Ta có \(MC.MD=MA.MB=\sqrt{14}.2\sqrt{14}=28\)
\(\Leftrightarrow \left( M{{I}_{1}}+r \right)\left( M{{I}_{1}}-r \right)=28\)
\(\Leftrightarrow MI_{1}^{2}-{{r}^{2}}=28\Leftrightarrow M{{I}_{1}}=\sqrt{28+{{\left( 2\sqrt{2} \right)}^{2}}}=6\).
Do \(M\left( 1;1;1 \right)\) nên điểm \(M\) cố định. Khi đó tâm \({{I}_{1}}\) của đường tròn \(\left( C \right)\) luôn nằm trên đường tròn cố định có tâm \(M\) bán kính \({{r}_{1}}=M{{I}_{1}}=6\).
