Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 m x - 2 (m - 1) y - m z + m - 2 = 0$ là phương trình của mặt cầu $(S_{m}) .$ Biết với mọi số thực m thì $(S_{m})$ luôn chứa một đường tròn cố định. Tìm bán kính I của đường tròn đó.

r = \frac{1}{2}

r = \sqrt{2}

r = \sqrt{3}

r = \frac{1}{\sqrt{2}}

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:Lời Giải:
Đáp án B
Gọi

M (x; y; z)

là một điểm thuộc đường tròn cố định với mọi số thực m, khi đó ta có:

x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 m x - 2 (m - 1) y - m z + m - 2 = 0

đúng với

\forall m

\Leftrightarrow m (2 x - 2 y - z + 1) + x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 y - 2 = 0

đúng với

\forall m

\Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x - 2 y - z + 1 = 0 \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 y - 2 = 0 \end{cases}

Vậy đường tròn cố định là giao tuyến của mặt phẳng

2 x - 2 y - z + 1 = 0

và mặt cầu

x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 y - 2 = 0

có tâm

I (0; - 1; 0),

bán kính

R = \sqrt{3}

Do đó bán kính đường tròn

r = \sqrt{R^{2} - {[d (I, (P))]}^{2}} = \sqrt{3 - {(\frac{|2 + 1|}{\sqrt{2^{2} + {(- 2)}^{2} + {(- 1)}^{2}}})}^{2}} = \sqrt{2}

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi