Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , có bao nhiêu mặt phẳng qua $M (2; 1; 3)$ , $A (0; 0; 4)$ và cắt hai trục $O x$ , $O y$ lần lượt tại $B$ , $C$ khác $O$ thỏa mãn diện tích tam giác $O B C$ bằng $1$ ?

0

3

2

4

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C
Gọi

B (a; 0; 0)

C (0; b; 0)

lần lượt là giao điểm của

(P)

với các trục

O x, O y

.
Phương trình mặt phẳng

(P) : \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{4} = 1

.
Vì

M (2; 1; 3)

thuộc

(P)

nên ta có

\frac{2}{a} + \frac{1}{b} + \frac{3}{4} = 1

\Leftrightarrow \frac{2}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow 4 a + 8 b = a b

.
Diện tích tam giác

S_{Δ O B C} = \frac{1}{2} O B . O C = \frac{1}{2} |a| . |b| = \frac{1}{2} |a b| = 1

\Leftrightarrow |a b| = 2

Xét hệ phương trình

\{\begin{cases} 4 a + 8 b = a b \\ a b = 2 \end{cases}, (I)

Xét hệ phương trình

\{\begin{cases} 4 a + 8 b = a b \\ a b = - 2 \end{cases}

\Leftrightarrow \{\begin{cases} 4 a + 8 b = - 2 \\ a b = - 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 a + 4 b = - 1 \\ 2 a b = - 4 \end{cases}

\Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 a = - 1 - 4 b \\ (- 1 - 4 b) b = - 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 a = - 1 - 4 b \\ 4 b^{2} + b - 4 = 0 \end{cases}

. Hệ có hai nghiệm.
Vậy có hai mặt phẳng thỏa yêu cầu bài toán.

Vậy đáp án đúng là C.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi