Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(A\left( -2;-4;5 \right)\). Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt cầu có tâm là A và cắt trục Oz tại hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông.
A.A.
\({{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y+4 \right)}^{2}}+{{\left( z-5 \right)}^{2}}=40\)
B.B.
\({{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y+4 \right)}^{2}}+{{\left( z-5 \right)}^{2}}=82\)
C.C.
\({{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y+4 \right)}^{2}}+{{\left( z-5 \right)}^{2}}=58\)
D.D.
\({{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y+4 \right)}^{2}}+{{\left( z-5 \right)}^{2}}=90\)
Đáp án và lời giải
Đáp án:A
Lời giải:
Gọi \(H\left( 0;0;5 \right)\) là hình chiếu vuông góc của A xuống trục Oz.
Khi đó tam giác OHB vuông cân tại H suy ra \(OH=\frac{R}{\sqrt{2}}\Rightarrow R=OH\sqrt{2}=2\sqrt{10}\).
Suy ra \(\left( S \right):{{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y+4 \right)}^{2}}+{{\left( z-5 \right)}^{2}}=40\).