Trong mặt phẳng cho hình vuông $A B C D$ cạnh $2 \sqrt{2}$ , phía ngoài hình vuông vẽ thêm bốn đường tròn nhận các cạnh của hình vuông làm đường kính . Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình trên khi quay quanh đường thẳng $A C$ bằng

\frac{32 π}{3} + 4 π^{2}

\frac{16 π}{3} + 2 π^{2}

\frac{8 π}{3} + π^{2}

\frac{64 π}{3} + 8 π^{2}

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A
Gọi

O

là giao điểm của

A C

và

B D

. Gắn hệ trực toạ độ

O x y

vào hình vẽ như bên dưới.

Gọi

I

là trung điểm

A B

X

là điểm chính giữa dây cung

A B

K

là điểm chính giữa dây cung

A X

và

L

là hình chiếu vuông góc của

K

lên trục

O y

.
Khi đó

A (0; 2), B (2; 0), I (1; 1), X (2; 2)

. Đường thẳng

A X : y = 2

.
Ta có

I K = R = \sqrt{2}

và

A O = 2

suy ra

A L = \sqrt{2} - 1

. Suy ra

K (1; \sqrt{2} + 1)

.
Đường tròn đường kính

A B

có phương trình là

{(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 2

.
Cung

\overset{⏜}{X B}

có phương trình:

x = 1 + \sqrt{2 - {(y - 1)}^{2}}

.
Cung

\overset{⏜}{X K}

có phương trình:

x = 1 + \sqrt{2 - {(y - 1)}^{2}}

.
Cung

\overset{⏜}{A K}

có phương trình:

x = 1 - \sqrt{2 - {(y - 1)}^{2}}

.
Gọi

H_{1}

là hình phẳng tạo bởi dây cung

X B

, đường thẳng

A X

và hai trục toạ độ.
Gọi

H_{2}

là hình phẳng tạo bởi dây cung

A X

và đường thẳng

A X

.
Gọi

V_{1}, V_{2}

lần lượt là thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình

H_{1}, H_{2}

khi quay quanh trục

O y

.
Ta có

\begin{array}{l} V_{1} = π {\int_{0}^{2} [1 + \sqrt{2 - {(y - 1)}^{2}}]}^{2} d y = π \int_{0}^{2} [3 - {(y - 1)}^{2} + 2 \sqrt{2 - {(y - 1)}^{2}}] d y \\ = [3 y - \frac{1}{3} {(y - 1)}^{3}] |_{0}^{2} + 2 π \int_{0}^{2} \sqrt{2 - {(y - 1)}^{2}} d y = \frac{16 π}{3} + 2 π \int_{0}^{2} \sqrt{2 - {(y - 1)}^{2}} d y . \end{array}

Đặt

y - 1 = \sqrt{2} \sin t

, với

- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}

. Suy ra

d y = \sqrt{2} \cos t d t

. Khi đó

\int_{0}^{2} \sqrt{2 - {(y - 1)}^{2}} d y = \int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}} 2 \cos^{2} t dt = \int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}} (1 + \cos 2 t) dt = (t + \frac{1}{2} \sin 2 t) |_{- \frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}} = \frac{π}{2} + 1

.
Suy ra

V_{1} = \frac{16 π}{3} + 2 π + π^{2}

.
Ta có

V_{2} = π \int_{2}^{1 + \sqrt{2}} [{(1 + \sqrt{2 - {(y - 1)}^{2}})}^{2} - {(1 - \sqrt{2 - {(y - 1)}^{2}})}^{2}] d y = π \int_{2}^{1 + \sqrt{2}} 4 \sqrt{2 - {(y - 1)}^{2}} d y

.
Đặt

y - 1 = \sqrt{2} \sin t

, với

- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}

. Suy ra

d y = \sqrt{2} \cos t d t

. Khi đó

V_{2} = 4 π \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} 2 \cos^{2} t dt = 4 π \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} (1 + \cos 2 t) dt = 4 π (t + \frac{1}{2} \sin 2 t) |_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} = 4 π (\frac{π}{4} - \frac{1}{2}) = π^{2} - 2 π

.
Do tính đối xứng của hình nên thể tích toàn khối là

V = 2 (V_{1} + V_{2}) = \frac{32 π}{3} + 4 π^{2}

Vậy đáp án đúng là A.

Bạn có muốn?

Xem thêm các đề thi trắc nghiệm khác

Xem thêm

Câu hỏi

Trong mặt phẳng cho hình vuông ABCD cạnh 22 , phía ngoài hình vuông vẽ thêm bốn đường tròn nhận các cạnh của hình vuông làm đường kính . Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình trên khi quay quanh đường thẳng AC bằng

Xem thêm các đề thi trắc nghiệm khác

Chia sẻ

Một số câu hỏi khác có thể bạn quan tâm.

Trong mặt phẳng cho hình vuông $A B C D$ cạnh $2 \sqrt{2}$ , phía ngoài hình vuông vẽ thêm bốn đường tròn nhận các cạnh của hình vuông làm đường kính . Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình trên khi quay quanh đường thẳng $A C$ bằng