Từ một mảnh giấy hình vuông cho trước cắt thành hai hình tròn sao cho tổng diện tích của hai hình tròn là lớn nhất. Gọi là tỉ số bán kính của chúng khi đó. Hỏi giá trị bằng bao nhiêu?

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:

Phân tích: Gọi là bán kính của 2 hình tròn được cắt. Ta có nhận xét rằng: + 2 đường tròn này phải tiếp xúc nhau vì nếu chưa tiếp xúc thì chúng vẫn còn “khoảng trống” để phóng to lên. + tương tự như vậy, 2 đường tròn này phải tiếp xúc với các cạnh của hình vuông và mỗi đường tròn phải tiếp xúc tối thiểu 2 cạnh (vì nếu chỉ tiếp xúc 1 cạnh thì vẫn còn “không gian” để “phóng to” lên). + 2 cạnh mà đường tròn thứ nhất tối thiểu tiếp xúc và 2 cạnh mà đường tròn thứ 2 tối thiểu tiếp xúc phải khác nhau hay nói cách khác, 4 cạnh đó đủ 4 cạnh của hình vuông. Như vậy, khi đó ta có hình dạng của 2 đường tròn chứa các tính chất đã nêu như hình vẽ: Để đơn giản, giả sử cạnh hình vuông bằng 1. Tổng diện tích của 2 hình tròn là . Bài toán đưa về: Tìm GTLN của biểu thức: biết và Từ . Thay vào: Dựa vào bảng biến thiên, ta có . Khi thì vì Ta có thể không cần xét hàm B.-DE-1-2 vì nó chỉ là tam thức bậc 2, dễ dàng xác định trục là .