Xét hàm số $f (x) = |x^{2} + a x + b|$ , với $a$ , $b$ là tham số. Gọi $M$ là giá trị lớn nhất của hàm số trên $[- 1; 3]$ . Khi $M$ nhận giá trị nhỏ nhất có thể được, tính $a + 2 b$ .

3

4

- 4

2

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C
Ta có

\max \{|A|, |B|\} \geq \frac{|A + B|}{2}

(1)

. Dấu

" = "

xảy ra khi

A = B

.
Và có

\max \{|A|, |B|\} \geq \frac{|A - B|}{2}

(2)

. Dấu

" = "

xảy ra khi

A = - B

.
Xét hàm số

g (x) = x^{2} + a x + b

, có

g^{'} (x) = 0

\Leftrightarrow

x = - \frac{a}{2}

.
Trường hợp một:

- \frac{a}{2} \notin [- 1; 3]

\Leftrightarrow

a \notin [- 6; 2]

. Khi đó

M = \max \{|1 - a + b|, |9 + 3 a + b|\}

.
Áp dụng bất đẳng thức

(2)

ta có

M \geq |4 + 2 a| > 8

.
Trường hợp hai:

- \frac{a}{2} \in [- 1; 3]

\Leftrightarrow

a \in [- 6; 2]

. Khi đó

M = \max \{|1 - a + b|, |9 + 3 a + b|, |b - \frac{a^{2}}{4}|\}

.
Áp dụng bất đẳng thức

(1)

và

(2)

ta có

M \geq \max \{|5 + a + b|, |b - \frac{a^{2}}{4}|\}

\Leftrightarrow

M \geq \frac{1}{8} |20 + 4 a + a^{2}|

\Leftrightarrow

M \geq \frac{1}{8} |16 + {(a + 2)}^{2}|

.
Suy ra

M \geq 2

.
Vậy

M

nhận giá trị nhỏ nhất có thể được là

M = 2

khi

\{\begin{cases} a = - 2 \\ 5 + a + b = \frac{a^{2}}{4} - b \\ 1 - a + b = 9 + 3 a + b \end{cases}

\Leftrightarrow

\{\begin{cases} a = - 2 \\ b = - 1 \end{cases}

.
Do đó

a + 2 b = - 2 + 2. (- 1) = - 4

Vậy đáp án đúng là C.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi