3. HỆ BẬC NHẤT HAI ẨN là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 9 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
Chủ đề 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT HAI ẨN
Kiến thức cần nhớ
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng: .
+ Cặp số được gọi là một nghiệm của hệ phương trình nếu nó là nghiệm chung của cả hai phương trình đó.
+ Hệ có thể có nghiệm duy nhất, vô nghiệm hoặc vô số nghiệm tùy theo vị trí tương đối của hai đường thẳng biểu diễn nghiệm của hai phương trình.
+ Phương pháp giải hệ: Chúng ta thường dùng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số để khử bớt một ẩn, từ đó sẽ giải được hệ.
Một số ví dụ
Ví dụ 1. Xác định các hệ số của hàm số để:
1) Đồ thị của nó đi qua hai điểm
2) Đồ thị của nó cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng .
Lời giải:
1) Thay tọa độ các điểm vào phương trình của đường thẳng ta được:
. Vậy .
2) Tương tự phần (1) ta có hệ:
Vậy .
Ví dụ 2. Giải các hệ phương trình sau:
a) b) c)
Lời giải:
a) Đặt . Theo đề bài ra ta có hệ phương trình:
.
Từ đó suy ra: .
b) Đặt . Theo bài ra ta có hệ phương trình:
. Từ đó suy ra: .
c). Điều kiện . Đặt ta có hệ phương trình mới
.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
Ví dụ 3. Cho hệ phương trình:
a) Giải hệ phương trình với .
b) Tìm để hệ phương trình có nghiệm duy nhất trong đó trái dấu.
c) Tìm để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn .
Giải:
a) Với ta có hệ phương trình:
b) Từ phương trình (1) ta có . Thay vào phương trình (2) ta được: (3)
Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi (3) có nghiệm duy nhất. Điều này tương đương với: . Từ đó ta được: ; . Ta có: . Do đó (thỏa mãn điều kiện)
c)Ta có: (4)
Từ (4) suy ra . Với điều kiện ta có:
. Vậy .
Ví dụ 4. Cho hệ phương trình:
a) Không giải hệ phương trình trên, cho biết với giá trị nào của m thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất?
b) Giải và biện luận hệ phương trình trên theo .
c) Tìm số nguyên sao cho hệ phương trình có nghiệm duy nhất mà đều là số nguyên.
d) Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất thì điểm luôn chạy trên một đường thẳng cố định.
e) Tìm để hệ trên có nghiệm duy nhất sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải:
a) Từ phương trình (2) ta có . Thay vào phương trình (1) ta được: (3)
Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (3) có nghiệm duy nhất , tức là .
Ta cũng có thể lập luận theo cách khác: Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi : .
b) Từ phương trình (2) ta có . Thay vào phương trình (1) ta được: (3)
Trường hợp 1: . Khi đó hệ có nghiệm duy nhất
Trường hợp 2: . Khi đó phương trình (3) thành: .
Vậy hệ có vô số nghiệm dạng .
Trường hợp 3: khi đó phương trình (3) thành:
(3) vô nghiệm, do đó hệ vô nghiệm.
c) Hệ đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi .
Ta có: . Vậy nguyên khi và chỉ khi nguyên. Do đó chỉ có thể là . Vậy (thỏa mãn) hoặc (loại)
Vậy nhận các giá trị là .
d) Khi hệ có nghiệm duy nhất ta có:
Vậy điểm luôn chạy trên đường thẳng cố định có phương trình .
e) Khi hệ có nghiệm duy nhất theo (d) ta có: . Do đó:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: .
Vậy với thì đạt giá trị nhỏ nhất.
Chú ý: Ta cũng có thể tìm quan hệ theo cách khác: Khi hệ phương trình có nghiệm duy nhất lấy phương trình (2) trừ đi phương trình (1) của hệ ta thu được:
Ví dụ 5. Cho hệ phương trình: . Chứng minh rằng với mọi hệ phương trình luôn có nghiệm. Gọi là một cặp nghiệm của phương trình: Chứng minh: . (Trích đề tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán - ĐHSP Hà Nội 2015).
Lời giải:
Từ phương trình (2) của hệ phương trình ta có thay vào phương trình của hệ ta có: . Do với mọi nên phương trình này luôn có nghiệm duy nhất . Suy ra hệ luôn có nghiệm với mọi .
Gọi là một nghiệm của hệ: Từ hệ phương trình ta có: .Nhân cả hai vế phương trình thứ nhất với , phương trình thứ hai với rồi trừ hai phương trình cho nhau ta được: .
Ngoài ra ta cũng có thể giải theo cách khác như sau:
. Ta dễ dàng chứng minh được đường thẳng luôn đi qua điểm cố định: và đường thẳng luôn đi qua điểm cố định : . Mặt khác ta cũng dễ chứng minh đường thẳng và đường thẳng vuông góc với nhau nên hai đường thẳng này luôn cắt nhau. Gọi là giao điểm của hai đường thẳng thì tam giác vuông tại . Gọi là trung điểm của thì , suy ra ..
Ví dụ 6. Cho hệ phương trình:
Hệ có nghiệm duy nhất , hãy tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau đây:
a) (1).
b) (2).
Lời giải:
Từ phương trình (2) ta suy ra: . Thay vào phương trình (1) ta được:
(3).
Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (3) có nghiệm duy nhất, điều đó xảy ra khi và chỉ khi: .
Khi đó .
a) Ta có:
khi .
Vậy giá trị nhỏ nhất của bằng 3.
b) Ta có:
đặt .
Khi đó .
Vậy giá trị nhỏ nhất của bằng 2.
Ví dụ 7): Cho hệ phương trình: . Chứng minh hệ luôn có nghiệm duy nhất và tìm GTLN của biểu thức .
Lời giải:
Xét hai đường thẳng .
+ Nếu thì và suy ra luôn vuông góc với .
+ Nếu thì và suy ra luôn vuông góc với .
+ Nếu thì đường thẳng lần lượt có hệ số góc là: suy ra do đó .
Tóm lại với mọi thì hai đường thẳng luôn vuông góc với . Nên hai đường thẳng luôn vuông góc với nh
