8. BẤT ĐẲNG THỨC là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 9 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
Chủ đề 8 - BẤT ĐẲNG THỨC
Phần 1: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY (CÔ SI)
Cho các số thực không âm khi đó ta có:
1. . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
2. . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
Các bất đẳng thức 1, 2 gọi là bất đẳng thức Cauchy cho 2 và 3 số thực không âm. (Còn gọi là bất đẳng thức Cô si hay bất đẳng thức AM- GM)
Để vận dụng tốt bất đẳng thức Cauchy . Ta cần nắm chắc những kết quả sau:
1) ;
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9) Với thì (*)
Thật vậy BĐT cần chứng minh tương đương với
điều này là hiển nhiên đúng.
(**) Tổng quát ta có
Thật vậy áp dụng (*) ta có
10) Với thì (*)
Thật vậy ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: mà điều này là hiển nhiên đúng.
Tổng quát ta có: . Thật vậy áp dụng (*) ta có: Áp dụng bất đẳng thức này ta có:
Tương tự ta có:
Do suy ra .
11) với mọi
Tổng quát: với ta có
12) Với thì
Tổng quát: Với ta có:
13) Một số kết quả được suy ra từ bất đẳng thức Cô si.
+ (*)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều ta suy ra: .
+ Hoàn toàn tương tự ta cũng chứng minh được: .
Ví dụ 1: Cho các số thực không âm . Chứng minh rằng:
a) .
b) . Với
c) .
d) .
e) Cho . Chứng minh: ( Trích đề tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán TP Hà Nội năm 2015)
Lời giải:
a) Ta có : . Suy ra suy ra đpcm.
b) Áp dụng bất đẳng thức ở câu a ta có: . Suy ra . Tương tự ta có: . Cộng ba bất đẳng thức cùng chiều ra suy ra: . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .
c) .
Cách 1: Ta có: .
Cách 2: . Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: . Suy ra .
Chú ý: là một biến đổi được sử dụng rất nhiều trong chứng minh bất đẳng thức:
d) .
e) Chú ý rằng: . Áp dụng câu c ta có đpcm.
f) Ta chú ý: . Suy ra .
Theo bất đẳng thức Cô si ta có: .Mặt khác sử dụng: . Từ đó suy ra: . Dấu ‘’=’’ xảy ra khi và chỉ khi .
Ví dụ 2:
a) Cho các số thực dương sao cho . Chứng minh rằng: . Trích đề tuyển sinh lớp 10- TP Hà Nội 2013.
b) Cho các số thực dương sao cho : . Chứng minh: Trích đề tuyển sinh lớp 10 chuyên Nguyễn Trãi- Hải Dương 2013).
c) Cho các số thực dương sao cho . Chứng minh: .
d) Cho các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của . Trích đề tuyển sinh lớp 10- TP Hà Nội 2014.
e) Cho các số thực không âm sao cho . Tìm GTLN của . Trích đề tuyển sinh lớp 10- TP Hà Nội 2015.
Lời giải:
a) Dự đoán dấu bằng xảy ra khi . Ta có cách giải như sau:
Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: . Cộng 6 bất đẳng thúc cùng chiều ta suy ra . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .
b) Dự đoán khi thì bất đẳng thức xảy ra dấu bằng. Từ đó ta có cách áp dụng BĐT Cô si như sau:
Ta có: . Từ đó suy ra . Từ giả thiết suy ra . Do . Suy ra . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .
c) Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành: . Hay (*) với . Ta có (*) tương đương với: . Do và nên . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .
d) . Áp dụng bất đẳng thức Cô si , tương tự ta có: , . Từ đó suy ra .Dấu bằng xảy ra khi .
Ta viết lại . Đặt .Ta có : . Ta sẽ chứng minh: .Dự đoán dấu bằng xảy ra khi nên ta chứng minh: . Hay . Bất đẳng thức này luôn đúng do . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .
MỘT SỐ KỸ THUẬT VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI.
1. Dự đoán dấu bằng để phân tích số hạng và vận dụng bất đẳng thức Cô si.
Đối với các bài toán bất đẳng thức đối xứng thông thường dấu bằng xảy ra khi các biến bằng nhau đây là cơ sở để ta phân tích các số hạng sao cho khi áp dụng bất đẳng thức Cô si thì dấu bằng phải đảm bảo.
Ta xét các ví dụ sau:
Ví dụ 1: Cho là các số dương thỏa mãn . Chứng minh
(Đề thi tuyển sinh lớp 10 Chu Văn An, Hà Nội – Amsterdam 2006-2007)
Lời giải:
Ta dự đoán dấu bằng xảy ra khi . Khi đó ,
Mặt khác để tận dụng giả thiết ta sẽ đưa về hằng đẳng thức . Vì vậy ta phân tích bài toán như sau:. Theo bất đẳng thức Cauchy thì , . Từ đó suy ra . Dấu bằng xảy ra khi .
Ngoài cách làm trên ta có thể giải bài toán bằng cách đưa về một biến: hoặc với chú ý: , . Thật vậy: Đặt . . Do . Ta cần chứng minh: . Bất đẳng thức này luôn đúng với mọi giá trị .
Ví dụ 2:
a) Cho là các số không âm thỏa mãn . Chứng minh rằng:
. (Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Ngoại Ngữ ĐHQGHN năm 2008-2009).
b) Với ba số dương thỏa mãn , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:. (Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán TP Hà Nội 2014)
Lời giải:
a) Dự đoán dấu bằng xảy ra khi . Khi đó nên ta có thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy trực tiếp cho biểu thức trong dấu căn.
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy dạng , dễ thấy ,.
Cộng hai bất đẳng thức này lại vế theo vế, ta được:
. Tiếp tục sử dụng bất đẳng thức Cauchy kết hợp với giả thiết, ta có: . Từ đó ta có ngay . Dấu bằng xảy ra .
b) Ta có: . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy co hai số thực dương ta có:
. Chứng minh tương tự rồi cộng vế, ta suy ra .Đẳng thức xảy ra khi . Vậy lớn nhất bằng khi Ví dụ 3: Cho và . Chứng minh rằng .
Lời giải:Dự đoán dấu bằng xảy ra khi . Bất đẳng thức cần chứng minh có thể viết thành:
. Sử dung bất đẳng thức Cauchy dạng: , ta có:
