CASIO BÀI 32 CỰC TRỊ CỦA SỐ PHỨC là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
Nguyễn Xuân Nam
PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL
BÀI 32. CỰC TRỊ CỦA SỐ PHỨC
I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG
1. Bất đẳng thức thường gặp
Bất đẳng thức Bunhiacopxki :Cho các số thực ta luôn có . Dấu = xảy ra
Bất đẳng thức Vectơ : Cho 2 vecto và ta luôn có
Dấu = xảy ra
2. Phương pháp mẹo sử dụng sử tiếp xúc
Dạng 1: Cho số phức có tập hợp các điểm biểu diễn số phức là đường tròn bán kính R. Với mỗi điểm thuộc đường tròn thì cũng thuộc đường tròn tâm gốc tọa độ bán kính .
+)Để lớn nhất thì lớn nhất đạt được khi đường tròn tiếp xúc trong với đường tròn và
+)Để nhỏ nhất thì nhỏ nhất đạt được khi đường tròn tiếp xúc ngoài với đường tròn và
Dạng 2 : Cho số phức có tập hợp các điểm biễu diễn số phức là đường thẳng . Với mỗi điểm thuộc thì cũng thuộc đường tròn
+)Để nhỏ nhất thì nhỏ nhất khi đó vuông góc với và
Dạng 3 : Cho số phức có tập hợp các điểm biễu diễn số phức là Elip có đỉnh thuộc trục lớn và đỉnh thuộc trục nhỏ . Với mỗi điểm thuộc thì cũng thuộc đường tròn
+)Để lớn nhất thì lớn nhất khi đó trùng với đỉnh thuộc trục lớn và
+)Để nhỏ nhất thì nhỏ nhất khi đó trùng với đỉnh thuộc trục nhỏ và
Dạng 4 : Cho số phức có tập hợp các điểm biễu diễn số phức là Hyperbol có hai đỉnh thuộc trục thực thì số phức có môđun nhỏ nhất nếu điểm biểu diễn số phức này trùng với các đỉnh trên. (môđun lớn nhất không tồn tại)
II) VÍ DỤ MINH HỌA
VD1-[Thi thử THPT Vĩnh Chân – Phú Thọ lần 1 năm 2017]
Trong các số phức thỏa mãn điều kiện . Tìm số phức có môđun nhỏ nhất.
A.B.C. D.
GIẢI
Cách Casio
Trong các số phức ở đáp án, ta sẽ tiến hành xắp xếp các số phức theo thứ tự môđun tăng dần :
Tiếp theo sẽ tiến hành thử nghiệm từng số phức theo thứ tự môđun tăng dần, số phức nào thỏa mãn hệ thức điều kiện đầu tiên thì là đúng
Với Xét hiệu :
Ra một giá trị khác 0 vậy không thỏa mãn hệ thức. Đáp án A sai
Tương tự như vậy với
Vậy số phức thỏa mãn hệ thức Đáp số C là đáp số chính xác
Cách mẹo
Gọi số phức có dạng . thỏa mãn
Trong các đáp án chỉ có đáp án C thỏa mãn Đáp án chính xác là C
Cách tự luận
Gọi số phức có dạng . thỏa mãn
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki :
Dấu = xảy ra
VD2-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 2 năm 2017]
Với các số phức thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của
A. B. C.D.
GIẢI
Cách mẹo
Gọi số phức có dạng . thỏa mãn
Vậy quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường tròn tâm bán kính . Ta gọi đây là đường tròn
Với mỗi điểm biểu diễn số phức thì cũng thuộc đường tròn tâm bán kính . Ta gọi đây là đường tròn , Môđun của cũng là bán kính đường tròn
Để bán kính lớn nhất thì thẳng hàng (như hình) và tiếp xúc trong với
Khi đó
Đáp số chính xác là D
Cách tự luận
Gọi số phức có dạng . thỏa mãn
Ta có
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có :
Vậy
đáp án D là chính xác
Bình luận
Việc sử dụng bất đẳng thức để đánh giá là rất khó khăn, đòi hỏi học sinh phải nắm rất vững bất đẳng thức Bunhiacopxki và các biến dạng của nó
Trong tình huống của bài toán này, khi so sánh 2 cách giải ta thấy dùng mẹo tiếp xúc tỏ ra đơn giản dễ hiểu và tiết kiệm thời gian hơn.
VD3-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 5 năm 2017]
Cho số phức thỏa mãn , giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của lần lượt là :
A.10 và 4 B. 5 và 4 C. 4 và 3D. 5 và 3
GIẢI
Cách mẹo
Gọi số phức có dạng . thỏa mãn
Vậy quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường Elip đỉnh thuộc đáy lớn là , đỉnh thuộc đáy nhỏ là
Với mỗi điểm biểu diễn số phức thì cũng thuộc đường tròn tâm bán kính . Ta gọi đây là đường tròn , Môđun của cũng là bán kính đường tròn
Để bán kính lớn nhất thì trùng với đỉnh thuộc trục lớn và
Để bán kính lớn nhất thì trùng với đỉnh thuộc trục nhỏ và
Đáp số chính xác là D
Cách tự luận
Gọi số phức có dạng . thỏa mãn
Theo bất đẳng thức vecto ta có :
Ta có
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có :
Vậy
đáp án D là chính xác
VD4-Trong các số phức thỏa mãn , tìm số phức có môđun nhỏ nhất.
A. B.C. D.
GIẢI
Cách mẹo
Gọi số phức có dạng . thỏa mãn
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức là Hypebol có 2 đỉnh thuộc thực là
Số phức có điểm biểu diễn và có môđun là . Để đạt giá trị nhỏ nhất thì trùng với hai đỉnh của
Đáp án chính xác là C
II) BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1-Cho các số phức thỏa mãn . Môđun z nhỏ nhất có thể đạt được là bao nhiêu :
A. B. C. D.
Bài 2-Trong các số phức thỏa mãn . Hai số phức và có môđun nhỏ nhất. Hỏi tích là bao nhiêu
A. B. C. D.
Bài 3-Trong các số phức thỏa mãn . Tính giá trị nhỏ nhất của .
A. B. C. D.
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1-Cho các số phức thỏa mãn . Môđun z nhỏ nhất có thể đạt được là bao nhiêu :
A. B. C. D.
GIẢI
Cách mẹo
Gọi số phức thỏa mãn
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức là đường tròn có tâm bán kính
Với mỗi điểm biểu diễn số phức sẽ thuộc đường tròn tâm bán kính . Vì vậy để nhỏ nhất thì đường tròn phải tiếp xúc ngoài với đường
Khi đó điểm sẽ là ti
