Chương 3 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Mức độ 4 Phần 2 là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
Câu 1: (THPT Lương Thế Vinh-Hà Nội năm 2017-2018) Trong không gian , cho ba điểm , , . Tìm tất cả các điểm sao cho là hình thang có đáy và .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Ta có nhận là một VTCP.
Kết hợp với qua .
Biến đổi
Ta có
Kết hợp với ta được
Với .
Với .
Hình thang có đáy thì với .
Do đó chỉ có thỏa mãn.
Câu 2: (THPT Lương Thế Vinh-Hà Nội năm 2017-2018) Trong không gian , cho điểm và mặt phẳng . Điểm thay đổi thuộc ; điểm thay đổi thuộc mặt phẳng . Biết rằng tam giác có chu vi nhỏ nhất. Tọa độ điểm là.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Trước hết ta nhận thấy và nên và nằm về một phía của mặt phẳng .
Gọi là điểm đối xứng của qua . Gọi là chu vi tam giác .
Ta có .
Do nên . Gọi là hình chiếu vuông góc của lên , ta có .
Lúc đó khi .
Vậy .
Câu 3: ----------HẾT----------(THPT Chuyên ĐHSP-Hà Nội-lần 1 năm 2017-2018) Trong không gian với hệ tọa độ , cho các điểm , , . Mặt phẳng đi qua , trực tâm của tam giác và vuông góc với mặt phẳng có phương trình là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có , nên .
Phương trình mặt phẳng là .
Phương trình mặt phẳng qua và vuông góc với là .
Phương trình mặt phẳng qua và vuông góc với là .
Giao điểm của ba mặt phẳng trên là trực tâm của tam giác nên .
Mặt phẳng đi qua , nên .
Mặt phẳng nên .
Vậy là một vectơ pháp tuyến của .
Chọn nên phương trình mặt phẳng là .
Câu 4: (THTT Số 4-487 tháng 1 năm 2017-2018) Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm và mặt phẳng . Đường thẳng đi qua và có vectơ chỉ phương cắt tại . Điểm thay đổi trong sao cho luôn nhìn đoạn dưới góc . Khi độ dài lớn nhất, đường thẳng đi qua điểm nào trong các điểm sau?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
+ Đường thẳng đi qua và có vectơ chỉ phương có phương trình là
.
+ Ta có: . Do đó khi và chỉ khi .
+ Gọi là hình chiếu của lên . Ta có: .
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
Khi đó và qua nhận làm vectơ chỉ phương.
+ Ta có: nên mà suy ra:
.
+ Đường thẳng qua , nhận làm vectơ chỉ phương có phương trình là .
Suy ra .
Mặt khác, nên .
+ Do đó đường thẳng.. qua , có vectơ chỉ phương nên có phương trình là .
Thử các đáp án thấy điểm thỏa. Vậy chọn đáp án B.
Câu 5: (THPT Chuyên ĐH KHTN-Hà Nội năm 2017-2018) Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm và . Với là điểm nằm trên trục , gọi là trực tâm của tam giác . Khi di động trên trục thì luôn thuộc một đường tròn cố định. Bán kính của đường tròn đó bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có . Dễ thấy tam giác cân tại . Gọi là trung điểm của . Ta có mặt phẳng vuông góc với (do ) và là mặt phẳng cố định.
Gọi là trực tâm tam giác , do , và cùng nằm trong mặt phẳng nên . Tìm được .
Ta chứng minh được do .
Suy ra . Suy ra thuộc mặt cầu đường kính và thuộc mặt phẳng cố định. Vậy luôn thuộc một đường tròn cố định có bán kính .
Câu 6: (THPT Chuyên ĐH KHTN-Hà Nội năm 2017-2018) Trong không gian với hệ tọa độ , cho tam giác vuông tại , , đường thẳng có phương trình , đường thẳng nằm trên mặt phẳng . Biết là điểm có hoành độ dương, gọi là tọa độ điểm , giá trị của bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có là giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng . Tọa độ điểm là nghiệm của hệ . Vậy điểm .
Điểm nằm trên đường thẳng nên điểm có tọa độ .
Theo giả thiết thì .
Do , ta có nên .
Theo giả thiết thì ; .
Vậy ta có hệ
. Vậy nên .
Câu 7: (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa năm 2017-2018) Trong không gian tọa độ cho các điểm , và đường thẳng . Gọi sao cho chu vi tam giác đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có .
, .
Khi đó chu vi tam giác đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất.
Xét hàm số
.
Dấu bằng đạt được khi và chỉ khi bộ số và bộ số tỉ lệ.
Suy ra . Suy ra .
Chú ý ở đây có dùng bất đẳng thức Mincopski ( Hệ quả của bất đẳng thức Cauchy)
, đúng với mọi , . Dấu bằng xảy ra khi hai bộ số và tỉ lệ.
Câu 8: (THPT Trần Nhân Tông-Quảng Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Trong không gian với hệ tọa độ , cho các điểm , . Trong các tam giác thỏa mãn các đường trung tuyến kẻ từ và vuông góc với nhau, điểm , sao cho góc lớn nhất. Tính giá trị .
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi , lần lượt là trung điểm của cạnh , .
Gọi , ta có nên .
Theo công thức tính đường trung tuyến, ta có
,
.
Góc lớn nhất nhỏ nhất.
Ta có
, dấu xảy ra .
Ta có , và ,
.
Ta có .
Khi đó từ và
.
Kết hợp với ta được thỏa mãn.
Như vậy .
Câu 9: (THTT số 5-488 tháng 2 năm 2018) Trong không gian , cho mặt cầu và đường thẳng . Hai mặt phẳng , chứa và tiếp xúc với tại và . Tìm tọa độ trung điểm của .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
có tâm mặt cầu , bán kính .
Gọi . Ta có nên là hình chiếu vuông góc của trên . Ta có
Ta có .
.
Câu 10: (THPT Mộ Đức-Quãng Ngãi-lần 1 năm 2017-2018) Trong mặt phẳng tọa độ , cho bốn điểm , , , . Gọi là tập hợp tất cả các điểm trong không gian thỏa mãn đẳng thức . Biết rằng là một đường tròn, đường tròn đó có bán kính bằng bao nhiêu?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Gọi là
