Chương 3 QUAN HỆ VUÔNG GÓC Mức độ 3 Phần 1 là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 11 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
Câu 1: (THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 1-NH2017-2018) Cho hình chóp có đáy là hình vuông tâm cạnh , vuông góc với mặt phẳng và Khoảng cách giữa và bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh; là hình chiếu vuông góc của trên
Vì nên (vì là trung điểm đoạn )
Ta có
Khi đó
Tam giác vuông tại nên
Vậy .
Câu 2: (THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 1-NH2017-2018) Cho hình chóp có đáy là hình vuông, cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy. Đường thẳng tạo với mặt phẳng một góc . Gọi là trung điểm của cạnh . Góc giữa hai đường thẳng và bằng (Số đo góc được làm tròn đến hàng đơn vị).
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B
Cách 1. Giả sử hình vuông cạnh , .
Xét trong không gian tọa độ trong đó: , . Khi đó ta có:
, , ,
Suy ra ,
Mặt khác: .
Cách 2. Gọi là trung điểm của .
Giả sử hình vuông cạnh ,
Gọi là trung điểm của . Vì nên góc giữa hai đường thẳng và bằng góc giữa hai đường thẳng và và là góc . Ta có ,.
Gọi là trung điểm của . Ta có .
Vậy góc giữa hai đường thẳng và bằng
Câu 3: (THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 1-NH2017-2018) Cho hình hộp chữ nhật có các cạnh . Góc giữa hai mặt phẳng và là . Tính giá trị gần đúng của góc ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Cách 1: Hai mặt phẳng và có giao tuyến là như hình vẽ. Từ và ta kẻ 2 đoạn vuông góc lên giao tuyến sẽ là chung một điểm như hình vẽ. Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng cần tìm chính là góc giữa hai đường thẳng và .
Tam giác lần lượt có , , .
Theo hê rông ta có: . Suy ra .
Tam giác có: .
Do đó hay .
Cách 2: Gắn hình hộp chữ nhật vào hệ trục tọa độ như hình vẽ . Khi đó .
Gọi là véc tơ pháp tuyến của . Có .
Gọi là véc tơ pháp tuyến của . Có .
Gọi là góc giữa hai mặt phẳng và
. Vậy giá trị gần đúng của góc là
Câu 4: (THTT Số 1-484 tháng 10 năm 2017-2018) Cho hình chóp tam giác đều có độ dài cạnh đáy bằng , cạnh bên bằng . Gọi là tâm của đáy , là khoảng cách từ đến mặt phẳng và là khoảng cách từ đến mặt phẳng . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Do tam giác đều tâm suy ra tại là trung điểm của.
Ta có:.
Từ giả thiết hình chóp đều suy ra , .
Dựng .
Có .
Có .
Từ đó có .
Trong tam giác vuông có đường cao nên:
.
Vậy .
Câu 5: (THPT Chuyên Quang Trung-Bình Phước-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình chóp , đáy là hình thang vuông tại và , biết , , và . Gọi và lần lượt là trung điểm của , . Tính khoảng cách từ đến theo .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Cách 1 : Gọi là giao điểm của và , vì nên là trung điểm của . Gọi là giao điểm của và , dễ thấy là trọng tâm tam giác . Do đó, , mà nên .
Lại có, . Gọi là hình chiếu của lên thì , với thay vào ta được . Vậy
Cách 2 : Gắn hệ trục sao cho ;.
Khi đó , , , , , , .
.
Nhập vào máy tính bỏ túi các tọa độ , , . Ta được kết quả . Vậy .
Câu 6: (THPT Hoa Lư A-Ninh Bình-lần 1-năm 2017-2018) Cho tứ diện có , , đôi một vuông góc và , . Tính góc giữa hai mặt phẳng và .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Gọi là trung điểm của . Mà nên .
Ta có: .
Ta có: .
Xét tam giác vuông tại có .
Vậy .
Câu 7: (THPT Hoa Lư A-Ninh Bình-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông cạnh , . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Gọi lần lượt là tâm của hai mặt đáy.Khi đó tứ giác là hình bình hành và
Do nên .
Ta có :
Lại có .
Trong hạ
Khi đó : .
Câu 8: (THPT Lê Hồng Phong-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại Cạnh bên vuông góc với đáy. Góc tạo bởi giữa và đáy bằng . Gọi là trung điểm của , tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
.
Gọi là trung điểm .
Dựng tại trong .
Dựng tại trong .
tại nên .
.
.
Câu 9: (THPT Chuyên Bắc Ninh-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình chóp có đáy là hình thoi tâm , đường thẳng vuông góc với mặt phẳng . Biết . Tìm số đo của góc giữa hai mặt phẳng và .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Gọi là trung điểm của , do tam giác cân tại nên ta có (1).
Theo giả thiết ta có . Do đó suy ra (2).
Từ (1) và (2) suy ra góc giữa hai mặt phẳng và là góc giữa hai đường thẳng và .
Ta có suy ra .
Do đó .
Mặt khác . Do đó tam giác vuông cân tại hay góc , suy ra .
Vậy góc giữa hai mặt phẳng và là .
Câu 10: (THPT Sơn Tây-Hà Nội-lần 1-năm 2017-2018) Cho tứ diện và các điểm , xác định bởi ; . Tìm để các véc tơ , , đồng phẳng.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có .
.
Ba véc tơ , , đồng phẳng khi và chỉ khi .
Câu 11: (THPT Sơn Tây-Hà Nội-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại với , . Điểm thuộc cạnh sao cho , là đường cao hình chóp và . Gọi là trung điểm . Tính diện tích thiết diện của hình chóp với mặt phẳng đi qua và vuông góc với .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Cách 1: Gọi là mặt phẳng đi qua và vuông góc với .
Vì nên .
Ta có nên là tam giác đều. Gọi là trung điểm , ta được . Từ đây suy ra (vì cùng vuông góc ).
Trong dựng với , ta suy ra .
Từ đó, thiết di
