Chương 5 ĐẠO HÀM Mức độ 4 Phần 3 là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 11 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
Câu 1: (SGD Hà Nội-lần 11 năm 2017-2018) Cho hàm số có đồ thị . Hỏi có bao nhiêu điểm trên đường thẳng sao cho từ đó kẻ được hai tiếp tuyến với .
A. điểm. B. điểm. C. điểm. D. điểm.
Lời giải
Chọn A
Ta có .
Gọi là hoành độ tiếp điểm, phương trình tiếp tuyến có dạng
Gọi là điểm nằm trên đường thẳng .
Tiếp tuyến đi qua điểm khi và chỉ khi
Yêu cầu đề bài có hai nghiệm phân biệt có một nghiệm bằng hoặc có nghiệm kép khác hoặc .
Vậy có điểm thỏa đề bài.
Câu 2: ----------HẾT----------(THPT Chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho hàm số có đồ thị . Hỏi trên trục có bao nhiêu điểm mà qua có thể kẻ đến đúng ba tiếp tuyến?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Nhận xét: hàm số đã cho là hàm số chẵn và có đạo hàm trên . Việc chứng minh hàm số có đạo hàm trên , ta chỉ cần chứng minh hàm số có đạo hàm tại .
Thật vậy, ta có
Nên hàm số có đạo hàm tại và .
Vì hàm số đã cho là hàm số chẵn nên đồ thị của nó đối xứng qua . Do đó từ điểm trên trục nếu kẻ được một tiếp tuyến đến thì ảnh của qua phép đối xứng trục cũng là một tiếp tuyến của .
Vậy để qua điểm trên trục có thể kẻ đến đúng ba tiếp tuyến thì điều kiện cần và đủ là có một tiếp tuyến vuông góc với trục tung và một tiếp tuyến với nhánh phải của đồ thị , tức là phần đồ thị của hàm số , với .
Gọi thuộc và là tiếp tuyến qua có hệ số góc . Ta có: .
Điều kiện tiếp xúc là:
Suy ra:
Yêu cầu đề bài tương đương phương trình có đúng một nghiệm và một nghiệm .
Phương trình có nghiệm nên .
Thử lại, với thì trở thành: (đúng).
Vậy .
Câu 3: (THPT Trần Phú – Đà Nẵng - Lần 2 – năm 2017 – 2018) Cho hàm số có đồ thị . Gọi là tập hợp tất cả giá trị thực của để đường thẳng cắt đồ thị tại ba điểm phân biệt sao cho các tiếp tuyến của tại và vuông góc với nhau. Biết , tính tích tất cả các phần tử của tập .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Phương trình hoành độ giao điểm của và :
.
cắt tại ba điểm phân biệt phương trình có hai nghiệm phân biệt khác
.
Khi đó, cắt tại , , với là nghiệm của .
Theo định lý vietè: .
Tiếp tuyến tại và vuông góc với nhau
.
Vậy tích các phần tử trong là .
