Chuyên đề Mặt Tròn Xoay là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
CHUYÊN ĐỀ:
MẶT TRÒN XOAY
Mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp khối đa diện
I- PHƯƠNG PHÁP
1. Chứng minh mặt cầu S(O; R) ngoại tiếp đa diện:
Thông thường ta chứng minh mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của đa diện thông qua một số nhận xét quan trọng sau:
Điểm M thuộc S(O; R) ⇔ OM = R.
Điểm M thuộc S(O; R) khi chỉ khi M nhìn đường kính của mặt cầu dưới 1 góc vuông.
2. Điều kiện cần và đủ:
Để một hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp là đáy của hình chóp có đường tròn ngoại tiếp.
Để một hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp là hình lăng trụ đó phải là hình lăng trụ đứng và có đáy lăng trụ là một đa giác nội tiếp.
3. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng:
Cho đoạn thẳng AB. Mặt phẳng (α) được gọi là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB khi mp(α) đi qua trung điểm I của AB và vuông góc với AB.
Lưu ý: (α) là tập hợp tất cả các điểm M trong không gian cách đều A, B.
Dạng toán: CHỨNG MINH KHỐI ĐA DIỆN NỘI TIẾP MẶT CẦU
Chứng minh mặt cầu S(O; R) ngoại tiếp đa diện:
Thông thường ta chứng minh mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của đa diện thông qua một số nhận xét quan trọng sau:
+ Điểm M thuộc S(O; R) ⇔ OM = R.
+ Điểm M thuộc S(O; R) khi chỉ khi M nhìn đường kính dưới 1 góc vuông.
I- Thuật toán 1: SỬ DỤNG MỘT TRỤC XÁC ĐỊNH TÂM MẶT CẦU NGOẠI TIẾP ĐA DIỆN
Cho hình chóp (thỏa mãn điều kiện tồn tại mặt cầu ngoại tiếp). Thông thường, để xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực hiện theo hai bước:
Bước 1: Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Dựng Δ: trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
Bước 2: Lập mặt phẳng trung trực (α) của một cạnh bên.
Lúc đó:
+ Tâm O của mặt cầu:
+ Bán kính:
Tùy vào từng trường hợp.
Lưu ý: Kỹ năng xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
1. Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy: là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và vuông góc với mặt phẳng đáy.
Tính chất:
Suy ra:
2. Các bước xác định trục:
– Bước 1: Xác định tâm H của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
– Bước 2: Qua H dựng Δ vuông góc với mặt phẳng đáy.
VD: Một số trường hợp đặc biệt
Tam giác vuông Tam giác đều Tam giác bất kì
3. Lưu ý: Kỹ năng tam giác đồng dạng
đồng dạng với
4. Nhận xét quan trọng:
là trục đường tròn ngoại tiếp .
Thuật toán 2: SỬ DỤNG HAI TRỤC XÁC ĐỊNH TÂM MẶT CẦU NGOẠI TIẾP ĐA DIỆN
Cho hình chóp (thỏa mãn điều kiện tồn tại mặt cầu ngoại tiếp). Thông thường, để xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực hiện theo hai bước:
Bước 1: Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Dựng Δ: trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
Bước 2: Xác định trục d của đường tròn ngoại tiếp một mặt bên (dễ xác định) của khối chóp.
Lúc đó:
+ Tâm I của mặt cầu:
+ Bán kính: . Tùy vào từng trường hợp.
II- BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA
Ví dụ 1: Cho điểm I nằm ngoài mặt cầu (O; R). Đường thẳng qua I cắt mặt cầu tại hai điểm A, B; đường thẳng cắt mặt cầu tại hai điểm C, D. Biết . Tính độ dài ID.
A. B. C. D.
Lời giải
Áp dụng tính chất: Do 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc 1 đường tròn nên .
⇒ Chọn đáp án C.
Ví dụ 2: Cho hình chóp đều S.ABCD có tam giác SAC đều cạnh a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
A. B. C. D.
Lời giải
Ta có: . Xét hai tam giác SMI và SOC đồng dạng suy ra: .
⇒ Chọn đáp án D.
Nhận xét: I là trọng tâm
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, cân tại A, . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. A. B. C. D.
Lời giải
Ta có:
. Xét : bán kính đường tròn ngoại tiếp .
Lúc đó: .
⇒ Chọn đáp án B.
Ví dụ 4: Tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc, . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
A. 1 B. C. D.
Lời giải
Gọi M là trung điểm BC, qua M dựng . Gọi K là trung điểm OA, qua K dựng : Tâm mặt cầu và
.
⇒ Chọn đáp án C.
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt đáy, vuông cân tại C, , góc giữa hai mặt phẳng và bằng 60°. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
A. B. C. D.
Lời giải
Do
Xét vuông tại A:
. Do vuông tại C nên tâm I mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là trung điểm . Tính được . Vậy .
⇒ Chọn đáp án D.
Ví dụ 6: Cho hai đường tròn tâm , bán kính bằng 1, tâm , bán kính bằng 2 lần lượt nằm trên hai mặt phẳng sao cho và . Tính diện tích mặt cầu qua hai đường tròn đó,
A. B. C. D.
Lời giải
Đặt
Vậy .
⇒ Chọn đáp án B.
Ví dụ 7: (Đề minh họa Bộ GD và ĐT) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. A. B. C. D.
Lời giải
Gọi H là trung điểm cạnh lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và SAB.
Ta có:
.
Vậy thể tích khối cầu là:
⇒ Chọn đáp án B.
Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, tam giác ABC có và . Biết góc giữa và bằng với . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
A. B. 2 C. D.
Lời giải
Gọi M là trung điểm của cạnh BC
.
Suy ra .
Theo giả thiết:
.
Ta có:
.
Xét : bán kính đường tròn ngoại tiếp .
Vậy bán kính mặt cầu là .
⇒ Chọn đáp án A.
Ví dụ
