ĐẠI SỐ CHƯƠNG 1 DIEM DAC BIET là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
Nguyễn Xuân Nam
CHỦ ĐỀ 8. ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. Bài toán tìm điểm cố định của họ đường cong
Xét họ đường cong có phương trình , trong đó là hàm đa thức theo biến với là tham số sao cho bậc của m không quá 2. Hãy tìm những điểm cố định thuộc họ đường cong khi thay đổi?
Phương pháp giải:
o Bước 1: Đưa phương trình về dạng phương trình theo ẩn có dạng sau:
hoặc .
o Bước 2: Cho các hệ số bằng , ta thu được hệ phương trình và giải hệ phương trình:
hoặc .
o Bước 3: Kết luận
Nếu hệ vô nghiệm thì họ đường cong không có điểm cố định.
Nếu hệ có nghiệm thì nghiệm đó là điểm cố định của .
II. Bài toán tìm điểm có tọa độ nguyên:
Cho đường cong có phương trình (hàm phân thức). Hãy tìm những điểm có tọa độ nguyên của đường cong?
Những điểm có tọa độ nguyên là những điểm sao cho cả hoành độ và tung độ của điểm đó đều là số nguyên.
Phương pháp giải:
o Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức chia tử số cho mẫu số.
o Bước 2: Lí luận để giải bài toán.
III. Bài toán tìm điểm có tính chất đối xứng:
Cho đường cong có phương trình. Tìm những điểm đối xứng nhau qua một điểm, qua đường thẳng.
Bài toán 1: Cho đồ thị trên đồ thị tìm những cặp điểm đối xứng nhau qua điểm.
Phương pháp giải:
Gọi là hai điểm trên đối xứng nhau qua điểm .
Ta có .
Giải hệ phương trình tìm được từ đó tìm được toạ độ M, N.
Trường hợp đặc biệt : Cho đồ thị . Trên đồ thị tìm những cặp điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ.
Phương pháp giải:
Gọi là hai điểm trên đối xứng nhau qua gốc tọa độ.
Ta có .
Giải hệ phương trình tìm được từ đó tìm được toạ độ .
Bài toán 3: Cho đồ thị trên đồ thị tìm những cặp điểm đối xứng nhau qua đường thẳng .
Phương pháp giải:
Gọi là hai điểm trên đối xứng nhau qua đường thẳng .
Ta có: (với là trung điểm của và là vectơ chỉ phương của đường thẳng ).
Giải hệ phương trình tìm được M, N.
IV. Bài toán tìm điểm đặc biệt khác:
1. Lí thuyết:
Loại 1. Cho hai điểm .
Cho điểm và đường thẳng , thì khoảng cách từ đến là .
Loại 2. Khoảng cách từ đến tiệm cận đứng là .
Loại 3. Khoảng cách từ đến tiệm cận ngang là .
Chú ý: Những điểm cần tìm thường là hai điểm cực đại, cực tiểu hoặc là giao của một đường thẳng với một đường cong nào đó. Vì vậy trước khi áp dụng công thức, ta cần phải tìm tìm điều kiện tồn tại rồi tìm tọa độ của chúng.
2. Các bài toán thường gặp:
Bài toán 1: Cho hàm số có đồ thị . Hãy tìm trên hai điểm và thuộc hai nhánh đồ thị hàm số sao cho khoảng cách ngắn nhất.
Phương pháp giải:
có tiệm cận đứng do tính chất của hàm phân thức, đồ thị nằm về hai phía của tiệm cận đứng. Nên gọi hai số là hai số dương.
Nếu thuộc nhánh trái thì ; .
Nếu thuộc nhánh phải thì ; .
Sau đó tính .
Áp dụng bất đẳng thức Côsi (Cauchy), ta sẽ tìm ra kết quả.
Bài toán 2: Cho đồ thị hàm số có phương trình . Tìm tọa độ điểm thuộc để tổng khoảng cách từ đến hai trục tọa độ nhỏ nhất.
Phương pháp giải:
Gọi và tổng khoảng cách từ đến hai trục tọa độ là thì .
Xét các khoảng cách từ đến hai trục tọa độ khi nằm ở các vị trí đặc biệt: Trên trục hoành, trên trục tung.
Sau đó xét tổng quát, những điểm có hoành độ, hoặc tung độ lớn hơn hoành độ hoặc tung độ của khi nằm trên hai trục thì loại đi không xét đến.
Những điểm còn lại ta đưa về tìm giá trị nhỏ nhất của đồ thi hàm số dựa vào đạo hàm rồi tìm được giá trị nhỏ nhất của .
Bài toán 3: Cho đồ thị có phương trình. Tìm điểm trên sao cho khoảng cách từ đến Ox bằng lần khoảng cách từ đến trục.
Phương pháp giải:
Theo đầu bài ta có .
Bài toán 4: Cho đồ thị hàm số có phương trình . Tìm tọa độ điểm trên sao cho độ dài ngắn nhất (với I là giao điểm hai tiệm cận).
Phương pháp giải:
Tiệm cận đứng ; tiệm cận ngang .
Ta tìm được tọa độ giao điểm của hai tiệm cận.
Gọi là điểm cần tìm. Khi đó:
Sử dụng phương pháp tìm GTLN - GTNN cho hàm số để thu được kết quả.
Bài toán 5: Cho đồ thị hàm số có phương trình và đường thẳng . Tìm điểm trên sao cho khoảng cách từ đến là ngắn nhất.
Phương pháp giải
Gọi thuộc .
Khoảng cách từ đến là
Khảo sát hàm số để tìm ra điểm thỏa mãn yêu cầu.
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Đồ thị của hàm số ( là tham số) luôn đi qua một điểm cố định có tọa độ là
A. . B. . C. . D. .
Câu 2. Đồ thị của hàm số ( là tham số) luôn đi qua một điểm cố định có tọa độ là
A. . B. . C. . D. .
Câu 3. Đồ thị của hàm số ( là tham số) luôn đi qua một điểm cố định có tọa độ là
A. . B. . C. . D. .
Câu 4. Biết đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định khi thay đổi, khi đó tọa độ của điểm là
A. . B. . C. . D. .
Câu 5. Biết đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định khi thay đổi. Tọa độ điểm khi đó là
A. . B. . C. . D. .
Câu 6. Hỏi khi thay đổi đồ thị của hàm số đi qua bao nhiêu điểm cố định ?
A. . B. . C. . D. .
Câu 7. Tọa độ điểm thuộc đồ thị của hàm số sao cho khoảng cách từ điểm đến tiệm cận đứng bằng 1 là
A. . B. .
C. . D. .
Câu 8. Hỏi khi thay đổi đồ thị của hàm số đi qua bao nhiêu điểm cố định ?
