Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng (dành cho học sinh Yếu – TB) – Đặng Việt Đông là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.online tổng hợp và biên soạn từ các nguồn chia sẻ trên Internet. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn luyện và học tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng
ĐT: 0978064165 - Email:
[email protected] Trang 1
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng
ĐT: 0978064165 - Email:
[email protected] Trang 2
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
NGUYÊN HÀM
A - KIẾN THỨC CHUNG
1- Nguyên hàm
Định nghĩa: Cho hàm số f x xác định trên K ( K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F x được
gọi là nguyên hàm của hàm số f x trên K nếu 'F x f x với mọi x K .
Định lí:
+ Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số
G x F x C cũng là một nguyên hàm của f x trên K .
+ Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên K thì mọi nguyên hàm của f x trên K đều có
dạng F x C , với C là một hằng số.
Do đó ,F x C C là họ tất cả các nguyên hàm của f x trên K . Ký hiệu xf x d F x C .
+ Tính chất của nguyên hàm
Tính chất 1: xf x d f x và ' xf x d f x C
Tính chất 2: x xkf x d k f x d với k là hằng số khác 0 .
Tính chất 3: x x xf x g x d f x d g x d
2 - Sự tồn tại của nguyên hàm
Định lí: Mọi hàm số f x liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K .
3 - Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp
Nguyên hàm của hàm số sơ cấp
Nguyên hàm của hàm số hợp
u u x
xd x C ud u C
11x 1
1
x d x C
11u 1
1
u d u C
1 x lnd x C
x
1 u lnd u C
u
2
1 1xd C
x x
2
1 1du C
u u
xx xe d e C uu ue d e C
x 0, 1
ln
x
x aa d C a a
a
u 0, 1ln
u
u aa d C a a
a
sin dx cos xx C sin du cosuu C
cos xdx sin x C cosudu sinu C
2
1 x tan
cos
d x C
x
2
1 u tan
cos
d u C
u
2
1 x cot
sin
d x C
x
2
1 u cot
sin
d u C
u
4 – Bảng nguyên hàm mở rộng
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng
ĐT: 0978064165 - Email:
[email protected] Trang 3
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
1d ax b ax b C
a
kx
kx ee dx C
k
11dx , 1
1
ax bax b c
a
1cos dx sinax b ax b
a
c
dx 1 ln ax b c
ax b a
c
1sin dx cosax b ax b c
a
1dxax b ax be e c
a
1tg dx ln cosax b ax b c
a
1dx
ln
px q px qa a c
p a
1cotg dx ln sinax b ax b ca
2 2
dx 1 arctg x c
a x a a
2
dx 1cotg
sin
ax b c
ax b a
2 2
dx 1 ln
2
a x c
a x a a x
2
dx 1 tg
cos
ax b c
ax b a
B - BÀI TẬP
DẠNG 1: CÁC CÂU HỎI LÍ THUYẾT
Câu 1: Trong các khẳng định dưới đây, có bao nhiêu khẳng định đúng?
(1): Mọi hàm số liên tục trên ;a b đều có đạo hàm trên ;a b .
(2): Mọi hàm số liên tục trên ;a b đều có nguyên hàm trên ;a b .
(3): Mọi hàm số đạo hàm trên ;a b đều có nguyên hàm trên ;a b .
(4): Mọi hàm số liên tục trên ;a b đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên ;a b .
A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 4 .
Câu 2: Cho hai hàm số f x , g x liên tục trên . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. d d df x g x x f x x g x x .
B. . d d . df x g x x f x x g x x .
C. d d df x g x x f x x g x x .
D. d dkf x x k f x x 0;k k .
Câu 3: Cho f x , g x là các hàm số xác định và liên tục trên . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào
sai?
A. d d . df x g x x f x x g x x . B. 2 d 2 df x x f x x .
C. d d df x g x x f x x g x x . D. d d df x g x x f x x g x x .
Câu 4: Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. d dkf x x k f x x với k .
B. d d df x g x x f x x g x x với f x ; g x liên tục trên .
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng
ĐT: 0978064165 - Email:
[email protected] Trang 4
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
C. 11d
1
x x x
với 1 .
D. df x x f x .
Câu 5: Cho hai hàm số f x , g x là hàm số liên tục, có F x , G x lần lượt là nguyên hàm của
f x , g x . Xét các mệnh đề sau:
I . F x G x là một nguyên hàm của f x g x .
II . .k F x là một nguyên hàm của .k f x với k .
III . .F x G x là một nguyên hàm của .f x g x .
