Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 18 PHƯƠNG TRÌNH HÀM Lê Hoành Phò File word là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
Đặt mua trọn bộ đề thi HỌC SINH GIỎI môn Toán file word
Cách 1: Soạn tin “ Đăng ký đề HSG môn Toán” gửi đến số 0982.563.365
Cách 2: Đăng ký tại link sau http://dethithpt.com/dangkytoan/
Chuyên đề 18: PHƯƠNG TRÌNH HÀM
1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Ánh xạ và hàm số
- Một ánh xạ f từ tập X đến tập Y là một quy tắc đặt tương ứng mỗi phần tử x của X với một và chỉ một phần tử y của Y. Phần tử y tương ứng của x gọi là ảnh của ánh xạ f, kí hiệu, x gọi là nghịch ảnh của y:
- Một ánh xạ f từ tập X đến tập Y gọi là đơn ánh nếu hai phần tử khác nhau bất kỳ của X đều cho hai ảnh khác nhau của Y:
Hay
- Một ánh xạ f từ tập X đến tập Y gọi là toàn ánh nếu mỗi phần tử Y bất kỳ của Y đều có nghịch ảnh x của X:
Hay .
- Một ánh xạ f từ tập X đến tập Y gọi là song ánh nếu f vừa đơn ánh và toàn ánh, tức là nếu mỗi phân tử y bất kỳ của Y đều có nghịch ảnh duy nhất x của X.
Hai tập hữu hạn có cùng số phần tử khi tồn tại một song ánh giữa chúng. Còn 2 tập vô hạn mà có song ánh giữa chúng thì gọi là cùng lực lượng hay cùng bản số.
- Hàm số y = f(x) với tập xác định D gọi là hàm số chẵn nếu:
thì và
- Hàm số y = f(x) với tập xác định D gọi là hàm số lẻ nếu:
thì và
- Hàm số tuần hoàn
Số dương bé nhất nếu có trong các số a thỏa mãn điều kiện trên gọi là chu kỳ T của
hàm số f.
- Hàm phản tuần hoàn
- Hàm cộng tính:
- Hàm nhân tính:
- Điểm bất đồng của hàm f(x) là x = a sao cho f(x) = a
- Nếu hàm số f(x) có trên D thì f(x) là hàm hằng trên D.
Đặc trưng hàm sơ cấp:
- Hàm bậc nhất
- Hàm tuyến tính
- Hàm mũ
- Hàm lôgarit
- Hàm
- Hàm
- Hàm
- Hàm
- Hàm
- Hàm
Phương trình hàm
- Tính giá trị đặc biệt f(0), f(1),...
- Dùng phép thế, đổi biến, các chuyển đổi số học, đại lượng trung bình, biến đổi tịnh tiến và đồng dạng, biến đổi phân tuyến tính,...
- Dùng tính chất đơn ánh, toàn ánh, song án, tuần hoàn,..
- Đánh giá, dự đoán hàm số, quy nạp,...
Phương trình hàm Cauchy: Hàm f(x) xác định và liên tục trên R thỏa mãn:
thì với a hằng số tùy ý.
2. CÁC BÀI TOÁN
Bài toán 18. 1: Cho hàm số f: thỏa:
Biết f(201) = a, hãy tính f(202).
Hướng dẫn giải
Thay ta được:
Thay ta được :
Thay ta được
Suy ra
Xét bất kì. Thay ta được:
Với ta cũng có
Ta chứng minh bằng quy nạp theo k:
Từ đó rút ra:
Do đó
Bài toán 18. 2: Cho hàm f(x, y) thỏa mãn các điều kiện:
Với mọi số nguyên không âm x, y. Tìm f(4, 1981)
Hướng dẫn giải
Ta có:
Do đó:
Ta lại có:
Do đó:
Bây giờ:
Đặt và
Do vậy:
Ta có:
Bằng qui nạp ta chứng minh được
Trong đó số mũ chứa (n + 2) chữ số 2. Từ đó:
với số mũ chứa 1983 chữ số 2.
Bài toán 18. 3: Cho hàm f: thỏa mãn các điều kiện sau:
(i)
(ii) Hãy tính f(2003).
Hướng dẫn giải
Từ (i) và (ii)
Ta có:
.............
Suy ra
Nên có
Do đó khẳng định đúng với mọi n
Ta có số nguyên m nằm giữa và 2. và do giả thiết (i)
nên có số nguyên m nằm giữa f() và f(2. ) suy ra
. Do giả thiết (ii) suy ra.
Vậy với
Suy ra:
Bài toán 18. 4: Cho f(n) là hàm số xác định với mọi và lấy giá tị không âm thỏa mãn tính chất:
1. lấy giá trị 0 hoặc 1
2. và
3. . Tính .
Hướng dẫn giải
Vì lấy giá trị 0 hoặc 1 nên ta suy ra:
Ta có:
.................
Vì giả thiết cho nên ta có dấu “=” ở các bất đẳng thức trên xảy ra, tức là
Mặt khác nếu a và
hoắc 667
Giả sử
mà (mâu thuẫn). Vậy:
Bài toán 18. 5: Cho f và g là các hàm xác định trên R thỏa:
Chứng minh rằng:
Nếu và thì
Hướng dẫn giải
Ta dùng phương pháp phản chứng
Giả sử lại một điểm
Ta lấy và xây dựng dãy như sau:
Theo giả thiết ta có:
Nên với
Do đó ta có: Nhưng vì và nên có thể chọn k sao cho dó đó
Mâu thuẫn với giả thiết. Vậy
Bài toán 18. 6: Cho hàm số f: thỏa 2 điều kiện:
i)
ii)
Chứng minh rằng không thể tồn tại hai số mà
Hướng dẫn giải
Ta sẽ chứng minh:
Thật vậy: với thì theo điều kiện (i) ta có ngay
Với , trước hết ta sẽ chứng minh bất đẳng thức:
thì
Với n = 0: công thức (1) đúng.
Giả sử công thức (1) đúng với tức
Ta có: tức (1) đúng với
Theo nguyên lý quy nạp toán học bất đẳng thức (1) đúng.
Bây giờ chọn n đủ lớn để tùy ý, khi đó
Do đó tức
Như vậy không thể tồn tại mà
Bài toán 18. 7: Đặt với x là số thực dương, và với mọi số nguyên dương n, ta đặt:được lấy n lần ở số hạng cuối cùng. Chứng minh rằng:
a) nếu
b)
với và với .
Hướng dẫn giải
a) Kí hiệu (n lần). Kí hiệu là hàm đồng nhất. Chú ý rằng là hàm tăng thực sự khi .
Ta sẽ chứng minh bằng qui nạp theo n rằng là hàm tăng thực sự khi . Dễ dàng kiểm tra được điều này đúng với
Giả sử khi là các hàm tăng thực sự với
Cho . Ta có:
Vậy là hàm tăng thực sự khi .
b) Để y rằng và . Suy ra:
Bài toán 18. 8: Cho với .
Chứng minh rằng
Hướng dẫn giải
Ta có:
Nên
Ta lại có:
Nên . Suy ra:
Do đó :
Bài toán 18. 9: Cho hàm số . Giả sử và với mọi số tự nhiên n.
a) Tìm giá trị lớn nhất M của với thỏa mãn điều kiện
b) Tìm tất cả các số , với , sao cho
Hướng dẫn giải
Có thể dùng quy nạp để chứng minh rằng f(n) là số tất cả các chữ số 1 trong biểu diễn nhị p
