TÀI LIỆU TOÁN LỚP 9 CHUYÊN ĐỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 9 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
CHƯƠNG 1- HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Hệ thức về cạnh và đường cao
KIẾN THỨC CƠ BẢN
Khi giải các bài toán liên quan đến cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ngoài việc nắm vững các kiến thức về định lý Talet, về các trường hợp đồng dạng của tam giác, cần phải nắm vững các kiến thức sau:
Tam giác vuông tại , đường cao , ta có:
1) .
2)
3)
4) .
5) .
6) . Chú ý: Diện tích tam giác vuông:
Ví dụ 1. Cho tam giác vuông tại , đường cao . Biết và .
a) Tính các cạnh của tam giác .
b) Tính độ dài các đoạn .
Giải:
a). Theo giả thiết: ,
suy ra . Do đó ; .
Tam giác vuông tại , theo định lý Pythagore ta có:
, suy ra .
b) Tam giác vuông tại , ta có , suy ra .
. Đặt thì , ta có:
hoặc (loại) Vậy . Từ đó .
Chú ý: Có thể tính như sau:
suy ra .
Ví dụ 2: Cho tam giác cân có đáy , cạnh bên bằng .
Tính diện tích tam giác
Dựng . Tính tỷ số .
Giải:
a). Gọi là trung điểm của . Theo định lý Pitago ta có:
Suy ra
b). Ta có
Suy ra . Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông ta có: . Suy ra do đó .
Ví dụ 3: Cho tam giác với các đỉnh và các cạnh đối diện với các đỉnh tương ứng là: .
Tính diện tích tam giác theo
Chứng minh:
Giải:
a). Ta giả sử góc là góc lớn nhất của tam giác
là các góc nhọn. Suy ra chân
đường cao hạ từ lên là điểm
thuộc cạnh .
Ta có: . Áp dụng định lý
Pi ta go cho các tam giác vuông
ta có:
Trừ hai đẳng thức trên ta có:
ta cũng có: . Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông Đặt thì . Từ đó tính được
b). Từ câu ta có: . Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: . Suy ra . Hay . Mặt khác ta dễ chứng minh được: suy ra
Dấu bằng xảy ra hki và chỉ khi tam giác đều.
Ví dụ 4. Cho tam giác nhọn đường cao ; là trực tâm của tam giác. Gọi là một điểm trên sao cho . theo thứ tự là diện tích các tam giác và . Chứng minh rằng .
Giải:
Tam giác vuông tại có
nên (1).
vì có
;
(cùng phụ với ). Suy ra , do đó (2)
Từ (1) và (2) suy ra nên ;
.
Vậy .
Ví dụ 5. Cho hình thang có . Tính diện tích của hình thang.
Giải:
Ta có (cùng phụ với ), vì thế trong tam giác vuông ta có .
Theo định lý Pythagore thì: hay
Suy ra nên .
Kẻ . Tứ giác là hình chữ nhật vì có , suy ra .
Tam giác vuông tại , ta có: , suy ra , do đó .
.
Vậy diện tích hình thang bằng .
Tỉ số lượng giác của góc nhọn
KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Các tỉ số lượng giác của góc nhọn (hình) được định nghĩa như sau:
+ Nếu là một góc nhọn thì
2. Với hai góc mà ,
ta có: .
Nếu hai góc nhọn và có hoặc thì .
3. .
4. Với một số góc đặc biệt ta có: .
Ví dụ 1. Biết . Tính và .
Giải:
Cách 1. Xét vuông tại .
Đặt . Ta có:
suy ra , do đó
. Tam giác vuông tại nên: , suy ra .
Vậy ;
Cách 2. Ta có suy ra , mà , do đó , suy ra .
; .
Ở cách giải thứ nhất ta biểu thị độ dài các cạnh của tam giác theo đại lượng rồi sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn để tính . Ở cách giải thứ hai, ta sử dụng giả thiết để tính rồi tính từ . Sau đó ta tính và qua và .
Ví dụ 2. Cho tam giác nhọn hai đường cao và cắt nhau tại . Biết . Chứng minh rằng .
Giải:
Ta có: .
Suy ra (1)
(cùng phụ với ); .
Do đó (g.g), suy ra , do đó (2). Từ (1) và (2) suy ra (3). Theo giả thiết suy ra hay , suy ra . Thay vào (3) ta được: .
Ví dụ 3. Biết . Tính .
Giải:
Biết . Để tính ta cần tính rồi giải phương trình với ẩn là hoặc .
Ta có: . Suy ra nên . Từ đó ta có: . Suy ra hoặc .
+ Nếu thì .
+ Nếu thì .
Vậy , hoặc .
Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông.
KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:
a) Cạnh huyền nhân với góc đối hay nhân với góc kề.
b) Cạnh góc vuông kia nhân với của góc đối hay nhân với của góc kề.
2. Giải tam giác vuông là tìm tất cả các cạnh và các góc chưa biết của tam giác vuông đó.
Ví dụ 1. Cho tam giác có và .
a) Tính độ dài cạnh
b) Tính diện tích tam giác .
Giải:
a). Kẻ đường cao .
Xét tam giác vuông , ta có: . Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông ta có:
. Suy ra . Vậy .
b) Cách 1. (đvdt)
Cách 2. (đvdt)
Ví dụ 2: Tính diện tích tam giác biết bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là .
Giải:
Giả thiết có các góc có số đo đặc biệt , nhưng tam
giác là tam giác thường nên ta sẽ tạo ra tam
giác vuông bằng cách. Dựng các đường
thẳng qua lần lượt vuông góc với
. Gọi là giao điểm của hai đường
thẳng trên. Khi đó tam giác và là các tam giác
vuông và 4 điểm cùng nằm trên đường tròn đường kính . Ta có: . Kẻ đường cao suy ra .Tức là: . Tam giác vuông góc tại nên . Mặt khác tam giác vuông tại nên . Từ đó tính được diện tích .
Ví dụ 3: Cho tam giác với các đỉnh và các cạnh đối diện với các đỉnh tương ứng là: . Chứng minh rằng:
Gọi là chân đường phân giác trong góc . Chứng minh:
Giải:
a). Dựng đường cao của tam giác
ta có:
Cách 1: Giả sử
