TÍCH PHÂN 221 BTTN ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN CƠ BẢN File word (1) là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
http://dethithpt.com
http://dethithpt.com
http://dethithpt.com (http://dethithpt.com)tổng biên soạn và tổng hợp
221 BTTN ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN CƠ BẢN
TÀI LIỆU ÔN TẬP VÀ GIẢNG DẠY CHO HỌC SINH THƯỜNG
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
1. Tính diện tích hình phẳng:
Định lí 1. Cho hàm số liên tục, không âm trên .
Khi đó diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng: là: .
Bài toán 1: Cho hàm số liên tục trên. Khi đó diện tích của hình phẳng (D) giới hạn bởi: Đồ thị hàm số ; trục : () và hai đường thẳng là: .
Bài toán 2.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị: , và hai đường đường thẳng . Được xác định bởi công thức: .
Chú ý:
1) Để phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta thường làm như sau:
* Giải phương trình: tìm nghiệm
.
Tính:
.
Ngoài cách trên, ta có thể dựa vào đồ thị để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
2) Trong nhiều trường hợp, bài toán yêu cầu tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị , . Khi đó, ta có công thức tính như sau: .
Trong đó: tương ứng là nghiệm nhỏ nhất, lớn nhất của phương trình: .
2. Tính thể tích khối tròn xoay:
a. Tính thể tích của vật thể
Định lí 2. Cắt một vật thể C bởi hai mặt phẳng và vuông góc với trục lần lượt tại . Một mặt phẳng bất kì vuông góc với tại điểm cắt C theo một thiết diện có diện tích . Giả sử là hàm liên tục trên . Khi đó thể tích của vật thể C giới hạn bởi hai mp và được tính theo công thức: .
b. Tính thể tích vậy tròn xoay
Bài toán 1. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay miền được giới hạn bởi các đường quanh trục
Thiết diện của khối tròn xoay cắt bởi mặt phẳng vuông góc với tại điểm có hoành độ bằng là một hình tròn có bán kính nên diện tích thiết diện bằng
. Vậy thể tích khối tròn xoay được tính theo công thức:
.
Chú ý:
Nếu hình phẳng được giới hạn bởi các đường (Với ) thì thể tích khối tròn xoay sinh bởi khi quay quanh trục được tính bởi công thức:
.
Bài toán 2. Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường quanh trục được tính theo công thức: .
Chú ý: Trong trường hợp ta không tìm được x theo y thì ta có thể giải bài toán theo cách sau.
Chứng minh hàm số liên tục và đơn điệu trên với . Khi đó phương trình có duy nhất nghiệm .
Thực hiện phép đổi biến ta có:.
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.
Dạng 1. Diện tích hình phẳng giới hạn
Phương pháp:
Cho hàm số liên tục trên. Khi đó diện tích của hình phẳng (D) giới hạn bởi: Đồ thị hàm số ; trục : () và hai đường thẳng là: .
công thức này chỉ đúng khi không đổi dấu trên khoảng .
Nếu: thì
Nếu thì
Chú ý: Nếu phương trình có nghiệm phân biệt trên thì trên mỗi khoảng biểu thức không đổi dấu.
Khi đó tích phân được tính như sau:
.
Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
và và hai đường thẳng :
.
Ví dụ 1.1.7 Tính diện tích hình phẳng D giới hạn bởi các đường:
1. 2.
Lời giải.
1. Ta có diện tích cần tính là: .
Mà nên ta có bảng xét dấu
0 1
0 0
Do vậy
(đvdt)
2. Diện tích cần tính là:
(đvdt) .
Ví dụ 2.1.7 Tính diện tích hình phẳng D giới hạn bởi các đường:
1. và trục 2. và trục .
Lời giải.
1. Diện tích cần tính là:
Mà
Nên (đvdt).
2. Diện tích cần tính là:
Vì nên ta có
(đvdt).
Câu 1. Diện tích hình phẳng màu vàng trong hình vẽ dưới đây là
A. B.
C. D.
Câu 2. Thể tích V của phần vật thể trong hình ảnh dưới đây được tính bởi công thức
A. B. C. D.
Câu 3. Thể tích V của khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) là
A. B. C. D.
Câu 4. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và hai đường thẳng x = 1, x = 2 là
A. B. C. D.
Câu 5. Thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường quay quanh trục Ox là
A. B. C. D.
Câu 6. Để tìm diện tích của hình phẳng giới hạn bởi một học sinh thực hiện theo các bước như sau:
Bước I.
Bước II.
Bước III.
Cách làm trên sai từ bước nào?
A. Bước I B. Bước II C. Bước III D. Không có bước nào sai.
Câu 7. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi là:
A. B. C. D.
Câu 8. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi là:
A. B. C. D.
Câu 9. Cho hai hàm số và liên tục trên và thỏa mãn: . Gọi V là thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh hình phẳng giới hạn bởi các đường: , . Khi đó V dược tính bởi công thức nào sau đây?
A. B.
C. D.
Câu 10. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi là:
A. B. C. D.
Câu 11. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi là:
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Câu 12. Gọi là hình phẳng giới hạn bởi các đường: . Quay xung quanh trục ta được khối tròn xoay có thể tích là:
A. B. C. D.
Câu 13. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường ; bằng ?
A. B. C. 12 D.
Câu 14. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường ;; bằng ?
A. B. C. 36 D.
Câu 15. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường ; bằng ?
A. B. C. D.
Câu 16. Diện t
