[0D4-1. 5-3] Cho hai số thực $x, y$ thỏa mãn $x^{2} + y^{2} = 1$ . Đặt $P = \frac{x^{2} + 6 x y}{1 + 2 x y + 2 y^{2}}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

P

không có giá trị nhỏ nhất.

P

không có giá trị lớn nhất.

C. Giá trị nhỏ nhất của

P

là

- 3

D. Giá trị lớn nhất của

P

là 1.

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C
Vì

x^{2} + y^{2} = 1

nên đặt

x = \sin t

y = \cos t

.
Khi đó:

P = \frac{\sin^{2} t + 6 \sin t . \cos t}{1 + 2 \sin t . \cos t + 2 \cos^{2} t}

\Leftrightarrow P = \frac{1 - \cos 2 t + 6 \sin 2 t}{4 + 2 \sin 2 t + 2 \cos 2 t} \Leftrightarrow (2 P + 1) \cos 2 t + (2 P - 6) \sin 2 t = 1 - 4 P (*)

Phương trình (*) có nghiệm

\Leftrightarrow {(2 P + 1)}^{2} + {(2 P - 6)}^{2} \geq {(1 - 4 P)}^{2}

\Leftrightarrow 8 P^{2} + 12 P - 36 \leq 0

\Leftrightarrow - 3 \leq P \leq \frac{3}{2}

Vậy giá trị nhỏ nhất của

P

là

- 3

. Luôn tồn tại t để dấu “=” xảy ra, hay tồn tại

x, y

để

P = - 3

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi