[2H1-3. 3-3] Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình bình hành. Gọi $V$ là thể tích của khối chóp $S . A B C D$ và $M, N, P$ lần lượt là trung điểm các cạnh $S B, S D, A D$ . Thể tích của khối tứ diện $A M N P$ bằng

\frac{1}{32} V

\frac{1}{8} V

\frac{1}{4} V

\frac{1}{16} V

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải
Tác giả: Nguyễn Tuấn Anh; Fb: Tuấn Anh Nguyễn
Chọn D
Cách 1

Kẻ

B H ⊥ (S A D); M I ⊥ (S A D)

có

\frac{d (M, (S A D))}{d (B, (S A D))} = \frac{M I}{B H} = \frac{M S}{B S} = \frac{1}{2}

.
Ta có

S_{Δ A N P} = \frac{1}{2} S_{Δ A N D}

(Vì

P

là trung điểm của

A D

).
Mà

S_{Δ A N D} = \frac{1}{2} S_{Δ A S D}

(Vì

N

là trung điểm của

S D

).
Nên

S_{Δ A N P} = \frac{1}{4} S_{Δ A S D}

.
Lại có

V_{M . A N P} = \frac{1}{3} S_{Δ A N P} \cdot M I

= \frac{1}{3} \cdot S_{Δ A N P} \cdot \frac{1}{2} B H

= \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{3} S_{Δ A N P} \cdot B H

= \frac{1}{8} V_{B . S A D} = \frac{1}{8} V_{S . B A D}

Mặt khác

V_{S . B A D} = \frac{1}{2} V_{S . A B C D} = \frac{1}{2} V

.
Do đó

V_{A . M N P} = \frac{1}{8} . \frac{1}{2} V = \frac{1}{16} V

.
Cách 2:
$C:\Users\Maxsys\Desktop\geogebra-export.png$
Do

S A // N P \Rightarrow S A // (M N P)

\Rightarrow d (A, (M N P)) = d (S, (M N P))

.
Nên

V_{A . M N P} = V_{S . M N P}

(1)
Ta có

\frac{V_{S . M N P}}{V_{S . B D P}} = \frac{S M}{S B} \cdot \frac{S N}{S D} \cdot \frac{S P}{S P} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

\Rightarrow V_{S . M N P} = \frac{1}{4} V_{S . B D P}

(2)
Lại có

S_{Δ B D P} = \frac{1}{2} S_{Δ B D A} = \frac{1}{4} S_{A B C D}

\Rightarrow V_{S . B D P} = \frac{1}{4} V_{S . A B C D} = \frac{1}{4} V

(3)
Từ

(1), (2), (3)

có

V_{A . M N P} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} V = \frac{1}{16} V

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi