[2H3-2. 3-2] Viết phương trình mặt phẳng $(α)$ đi qua $M (2; 1; - 3)$ , biết $(α)$ cắt trục $O x, O y, O z$ lần lượt tại $A, B, C$ sao cho tam giác $A B C$ nhận $M$ làm trực tâm

Name: Ôn Thi trắc nghiệm THCS, THPT
Rating: 4,1 (196528 reviews)

2 x + 5 y + z - 6 = 0.

2 x + y - 6 z - 23 = 0.

2 x + y - 3 z - 14 = 0.

3 x + 4 y + 3 z - 1 = 0.

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Giả sử

A (a; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c), a b c \neq 0.

Khi đó mặt phẳng

(α)

có dạng:

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

.
Do

M \in (α) \Rightarrow \frac{2}{a} + \frac{1}{b} - \frac{3}{c} = 1 (1)

Ta có:

\vec{A M} = (2 - a; 1; - 3), \vec{B M} = (2; 1 - b; - 3), \vec{B C} = (0; - b; c), \vec{A C} = (- a; 0; c)

M

là trực tâm tam giác

A B C

nên:

\{\begin{cases} \vec{A M} . \vec{B C} = 0 \\ \vec{B M} . \vec{A C} = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - b - 3 c = 0 \\ - 2 a - 3 c = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} b = - 3 c \\ a = - \frac{3 c}{2} \end{cases} (2)

Thay

(2)

vào

(1)

ta có:

- \frac{4}{3 c} - \frac{1}{3 c} - \frac{3}{c} = 1 \Leftrightarrow c = - \frac{14}{3} \Rightarrow a = 7, b = 14.

Do đó

(α) : \frac{x}{7} + \frac{y}{14} - \frac{3 z}{14} = 1 \Leftrightarrow 2 x + y - 3 z - 14 = 0.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi