Biết $\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{x}{1 + \cos 2 x} d x = a π + b \ln 2$ , với $a$ , $b$ là các số hữu tỉ. Tính $T = 16 a - 8 b ?$

Name: Ôn Thi trắc nghiệm THCS, THPT
Rating: 4,1 (196528 reviews)

T = 4

T = 5

T = 2

T = - 2

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A
Đặt

A = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{x}{1 + \cos 2 x} d x = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{x}{2 \cos^{2} x} d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{x}{\cos^{2} x} d x

.
Đặt:

\{\begin{cases} u = x \Rightarrow d u = d x \\ d v = \frac{1}{\cos^{2} x} d x \Rightarrow v = \tan x \end{cases}

.
Khi đó:

A = \frac{1}{2} [{x \tan x|}_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan x d x] = \frac{1}{2} [{(x \tan x + \ln |\cos x|)|}_{0}^{\frac{π}{4}}] = \frac{1}{2} (\frac{π}{4} + \ln \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{2} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2} \ln 2)

= \frac{π}{8} - \frac{1}{4} \ln 2

.
Vậy

a = \frac{1}{8}

b = \frac{- 1}{4}

và

16 a - 8 b = 2 + 2 = 4

Vậy đáp án đúng là A.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi