Biết $m$ là giá trị để bất phương trình $\{\begin{cases} 0 < x + y \leq 1 \\ x + y + \sqrt{2 x y + m} \geq 1 \end{cases}$ có nghiệm duy nhất. Mệnh đề nào sau đây đúng?

m \in (- \frac{1}{2}; - \frac{1}{3}) .

m \in (- \frac{3}{4}; 0) .

m \in (\frac{1}{3}; 1) .

m \in (- 2; - 1) .

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải
Chọn B
Điều kiện:

2 x y + m \geq 0 \Leftrightarrow m \geq - 2 x y \geq - 2. {(\frac{x + y}{2})}^{2} \Rightarrow m \geq - \frac{1}{2} .

Nhận xét: Nếu hệ bất phương trình

\{\begin{cases} 0 < x + y \leq 1 \\ x + y + \sqrt{2 x y + m} \geq 1 \end{cases}

có nghiệm

(x; y), x \neq y

thì hệ bất phương trình cũng có nghiệm

(y; x)

do đó, hệ bất phương trình trên chỉ có nghiệm duy nhất khi

x = y

.
+Với

x = y

,ta có hệ bất phương trình:

\{\begin{cases} 0 < 2 x \leq 1 \\ 2 x + \sqrt{2 x^{2} + m} \geq 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 0 < x \leq \frac{1}{2} \\ \sqrt{2 x^{2} + m} \geq 1 - 2 x \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 0 < x \leq \frac{1}{2} \\ 2 x^{2} + m \geq 1 - 4 x + 4 x^{2} (*) \end{cases}

Ta có:

2 x^{2} + m \geq 1 - 4 x + 4 x^{2} \Leftrightarrow m \geq 2 x^{2} - 4 x + 1 (* *)

Xét hàm số

f (x) = 2 x^{2} - 4 x + 1

trên

(0; \frac{1}{2}]

.
Ta có:

f^{'} (x) = 4 x - 4 < 0, \forall x \in (0; \frac{1}{2}] .

Bảng biến thiên:

Để hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất thì

m = - \frac{1}{2}

.
+Với

m = - \frac{1}{2}

, ta có:

\{\begin{cases} 0 < x + y \leq 1 \\ x + y + \sqrt{2 x y - \frac{1}{2}} \geq 1 (1) \end{cases}

Ta có:

x + y + \sqrt{2 x y - \frac{1}{2}} \geq 1 \Rightarrow x + y + \sqrt{2. {(\frac{x + y}{2})}^{2} - \frac{1}{2}} \geq x + y + \sqrt{2 x y - \frac{1}{2}} \geq 1

\Rightarrow 1 \geq 1

.
Dấu

'' =''

xãy ra khi

x = y = \frac{1}{2} .

Vậy hệ bất phương trình

\{\begin{cases} 0 < x + y \leq 1 \\ x + y + \sqrt{2 x y + m} \geq 1 \end{cases}

có nghiệm duy nhất khi

m = - \frac{1}{2}

Vậy đáp án đúng là D.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi