Cho $\int 2 x {(3 x - 2)}^{6} d x = a {(3 x - 2)}^{8} + b {(3 x - 2)}^{7} + C$ với $a$ , $b \in ℚ$ và $C \in ℝ$ . Giá trị của biểu thức $36 a + 63 b$ bằng

A.45.

B.3.

C.5.

D.15.

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C
Cách 1:
Đặt

f (x) = 2 x {(3 x - 2)}^{6}

và

F (x) = a {(3 x - 2)}^{8} + b {(3 x - 2)}^{7} + C

\forall x \in ℝ

.
Ta có:

F^{'} (x) = 24 a {(3 x - 2)}^{7} + 21 b {(3 x - 2)}^{6} = {(3 x - 2)}^{6} . [24 a (3 x - 2) + 21 b]

= (72 a x + 21 b - 48 a) . {(3 x - 2)}^{6}

.
Theo giả thiết,

F (x)

là họ nguyên hàm của

f (x)

nên

F^{'} (x) = f (x)

\forall x \in ℝ

\Leftrightarrow (72 a x + 21 b - 48 a) . {(3 x - 2)}^{6} = 2 x {(3 x - 2)}^{6}

\forall x \in ℝ

.
Đồng nhất hệ số ở 2 vế, ta được:

\{\begin{cases} 72 a = 2 \\ 21 b - 48 a = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = \frac{1}{36} \\ b = \frac{4}{63} \end{cases}

.
Vậy

36 a + 63 b = 1 + 4 = 5

.
Cách 2:
Ta có:

2 x {(3 x - 2)}^{6} = \frac{2}{3} [(3 x - 2) + 2] {(3 x - 2)}^{6} = \frac{2}{3} {(3 x - 2)}^{7} + \frac{4}{3} {(3 x - 2)}^{6}

\Rightarrow \int 2 x {(3 x - 2)}^{6} d x = \int [\frac{2}{3} {(3 x - 2)}^{7} + \frac{4}{3} {(3 x - 2)}^{6}] d x

= \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{{(3 x - 2)}^{8}}{8} + \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{{(3 x - 2)}^{7}}{7} + C

= \frac{1}{36} {(3 x - 2)}^{8} + \frac{4}{63} {(3 x - 2)}^{7} + C

\Rightarrow a = \frac{1}{36}

b = \frac{4}{63}

.
Vậy

36 a + 63 b = 1 + 4 = 5

Vậy đáp án đúng là C.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi