Cho $a$ là số thực khác $0$ , $F (x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = e^{x} (\ln (a x) + \frac{1}{x})$ thỏa mãn $F (\frac{1}{a}) = 0$ và $F (2018) = e^{2018}$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Name: Ôn Thi trắc nghiệm THCS, THPT
Rating: 4,1 (196528 reviews)

a \in [2018; + \infty)

a \in (\frac{1}{2018}; 1)

a \in (0; \frac{1}{2018})

a \in [1; 2018)

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:Lời giải
Chọn B
Xét

F (x) = \int e^{x} (\ln (a x) + \frac{1}{x}) d x = \int e^{x} \ln (a x) d x + \int e^{x} . \frac{1}{x} d x = M + \int e^{x} . \frac{1}{x} d x

.
Xét

M = \int e^{x} \ln (a x) d x

. Đặt

\{\begin{cases} u = \ln (a x) \\ d v = e^{x} d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = \frac{1}{x} d x \\ v = e^{x} \end{cases}

Khi đó

M = \int e^{x} \ln (a x) d x = e^{x} . \ln (a x) - \int e^{x} . \frac{1}{x} d x

\Rightarrow F (x) = e^{x} \ln (a x) + C

.
Vì

F (\frac{1}{a}) = 0 \Leftrightarrow C = 0

suy ra

F (x) = e^{x} \ln (a x)

.
Lại có

F (2018) = e^{2018} \ln (2018 a) = e^{2018} \Leftrightarrow \ln (2018 a) = 1

\Leftrightarrow 2018 a = e \Leftrightarrow a = \frac{e}{2018}

. Vậy

a \in (\frac{1}{2018}; 1)

Vậy đáp án đúng là B.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi