Cho các số thực $x$ , $y$ , $z$ thỏa mãn $x > 2$ , $y > 1$ , $z > 0$ . Giá trị lớn nhất của biểu thức: $P = \frac{1}{2 \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 (2 x + y - 3)}} - \frac{1}{y (x - 1) (z + 1)}$ là

P = \frac{1}{4}

P = \frac{1}{6}

P = \frac{1}{8}

P = \frac{1}{2}

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C
Đặt

a = x - 2

b = y - 1

c = z

.
Ta có:

a

b

c > 0

và

P = \frac{1}{2 \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} + 1}} - \frac{1}{(a + 1) (b + 1) (c + 1)}

.
Ta có:

a^{2} + b^{2} + c^{2} + 1 \geq \frac{{(a + b)}^{2}}{2} + \frac{{(c + 1)}^{2}}{2} \geq \frac{1}{4} {(a + b + c + 1)}^{2}

.
Dấu

'' =''

xảy ra khi và chỉ khi

a = b = c = 1

.
Mặt khác

(a + 1) (b + 1) (c + 1) \leq \frac{{(a + b + c + 3)}^{3}}{27}

. Dấu

'' =''

xảy ra khi và chỉ khi

a = b = c = 1

.
Đặt

t = a + b + c + 1 \Rightarrow t > 1

khi đó

P \leq \frac{1}{t} - \frac{27}{{(t + 2)}^{3}}

t > 1

Xét hàm

f (t) = \frac{1}{t} - \frac{27}{{(t + 2)}^{3}}

t > 1

;

f^{'} (t) = - \frac{1}{t^{2}} + \frac{81}{{(t + 2)}^{4}}

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có

max_{(1; + \infty)} f (t) = f (4) = \frac{1}{8} \Leftrightarrow t = 4

\Leftrightarrow \{\begin{cases} a = b = c = 1 \\ a + b + c + 1 = 4 \end{cases} \Leftrightarrow a = b = c = 1

\Leftrightarrow x = 3

;

y = 2

;

z = 1

.
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức

P

là

\frac{1}{8}

, đạt được khi

(x; y; z) = (3; 2; 1)

Vậy đáp án đúng là C.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi